Kalkulus Contoh

$x' = 3 x t^{2} - 3 t^{2}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensialnya.

$\frac{d x}{d t} = 3 x t^{2} - 3 t^{2}$

Langkah 2

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $3 t^{2}$ dari $3 x t^{2} - 3 t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Faktorkan $3 t^{2}$ dari $3 x t^{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x) - 3 t^{2}$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $3 t^{2}$ dari $- 3 t^{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x) + 3 t^{2} (- 1)$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $3 t^{2}$ dari $3 t^{2} (x) + 3 t^{2} (- 1)$ .

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x - 1)$

Langkah 2.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x - 1} (3 t^{2} (x - 1))$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = 3 \frac{1}{x - 1} (t^{2} (x - 1))$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} (t^{2} (x - 1))$

Langkah 2.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Faktorkan $x - 1$ dari $t^{2} (x - 1)$ .

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} ((x - 1) t^{2})$

Langkah 2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} ((x - 1) t^{2})$

Langkah 2.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = 3 t^{2}$

Langkah 2.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{x - 1} d x = 3 t^{2} d t$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{x - 1} d x = \int 3 t^{2} d t$

Langkah 3.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Biarkan $u = x - 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Biarkan $u = x - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Diferensialkan $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 3.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 3.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 3.2.1.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 3.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 3.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 3 t^{2} d t$

Langkah 3.2.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

Langkah 3.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t^{2}$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Tulis kembali $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ sebagai $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

Langkah 3.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Langkah 3.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Langkah 3.3.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

Langkah 3.3.3.2.3

Kalikan $t^{3}$ dengan $1$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| x - 1 |) = t^{3} + C$

Langkah 4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| x - 1 |)} = e^{t^{3} + C}$

Langkah 4.2

Tulis kembali $\ln (| x - 1 |) = t^{3} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{t^{3} + C} = | x - 1 |$

Langkah 4.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| x - 1 | = e^{t^{3} + C}$ .

$| x - 1 | = e^{t^{3} + C}$

Langkah 4.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm e^{t^{3} + C}$

Langkah 4.3.3

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = \pm e^{t^{3} + C} + 1$

Langkah 5

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $e^{t^{3} + C}$ sebagai $e^{t^{3}} e^{C}$ .

$x = \pm e^{t^{3}} e^{C} + 1$

Langkah 5.2

Susun kembali $e^{t^{3}}$ dan $e^{C}$ .

$x = \pm e^{C} e^{t^{3}} + 1$

Langkah 5.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$x = C e^{t^{3}} + 1$