Kalkulus Contoh

$e^{y} - x y = e$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (e^{y} - x y) = \frac{d}{d x} (e)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{y} - x y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Langkah 2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Langkah 2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$e^{y} y' + \frac{d}{d x} [- x y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x y$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$e^{y} y' - \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$e^{y} y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$e^{y} y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{y} y' - (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 2.3.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$e^{y} y' - (x y' + y)$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{y} y' - (x y') - y$

Langkah 2.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$e^{y} y' - x y' - y$

Langkah 3

Karena $e$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $e$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$e^{y} y' - x y' - y = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{y} y' - x y' - y$ .

$y' e^{y} - x y' - y = 0$

Langkah 5.2

Tambahkan $y$ ke kedua sisi persamaan.

$y' e^{y} - x y' = y$

Langkah 5.3

Faktorkan $y'$ dari $y' e^{y} - x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $y'$ dari $y' e^{y}$ .

$y' (e^{y}) - x y' = y$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $- x y'$ .

$y' (e^{y}) + y' (- x) = y$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (e^{y}) + y' (- x)$ .

$y' (e^{y} - x) = y$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $y' (e^{y} - x) = y$ dengan $e^{y} - x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (e^{y} - x) = y$ dengan $e^{y} - x$ .

$\frac{y' (e^{y} - x)}{e^{y} - x} = \frac{y}{e^{y} - x}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{y} - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (e^{y} - x)}{e^{y} - x} = \frac{y}{e^{y} - x}$

Langkah 5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{y}{e^{y} - x}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y} - x}$