Kalkulus Contoh

$\int \frac{5 x}{4 x + 4 x^{2}} d x$

Langkah 1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$5 \int \frac{x}{4 x + 4 x^{2}} d x$

Langkah 2

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Faktorkan pecahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Faktorkan $4 x$ dari $4 x + 4 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1.1

Faktorkan $4 x$ dari $4 x$ .

$\frac{x}{4 x (1) + 4 x^{2}}$

Langkah 2.1.1.1.2

Faktorkan $4 x$ dari $4 x^{2}$ .

$\frac{x}{4 x (1) + 4 x (x)}$

Langkah 2.1.1.1.3

Faktorkan $4 x$ dari $4 x (1) + 4 x (x)$ .

$\frac{x}{4 x (1 + x)}$

Langkah 2.1.1.2

Kurangi pernyataan $\frac{x}{4 x (1 + x)}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x}{4 x (1 + x)}$

Langkah 2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4 (1 + x)}$

Langkah 2.1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Langkah 2.1.3

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $4 (1 + x)$ .

$\frac{1 (4 (1 + x))}{4 (1 + x)} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Langkah 2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (4 (1 + x))}{4 (1 + x)} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Langkah 2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (1 + x)}{1 + x} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Langkah 2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (1 + x)}{1 + x} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Langkah 2.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Langkah 2.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = \frac{A (4 (1 + x))}{1 + x}$

Langkah 2.1.6.2

Bagilah $(A) \cdot (4)$ dengan $1$ .

$1 = (A) \cdot (4)$

Langkah 2.1.7

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $A$ .

$1 = 4 A$

Langkah 2.2

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

Langkah 2.2.2

Bagi setiap suku pada $4 A = 1$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Bagilah setiap suku di $4 A = 1$ dengan $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

Langkah 2.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

Langkah 2.2.2.2.1.2

Bagilah $A$ dengan $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

Langkah 2.3

Replace each of the partial fraction coefficients in $\frac{A}{1 + x}$ with the values found for and $A$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{1 + x}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + x}$

Langkah 2.4.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{1 + x}$ .

$5 \int \frac{1}{4 (1 + x)} d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$5 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + x} d x)$

Langkah 4

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $5$ .

$\frac{5}{4} \int \frac{1}{1 + x} d x$

Langkah 5

Biarkan $u = 1 + x$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 1 + x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 5.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{5}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{4} (\ln (| u |) + C)$

Langkah 7

Sederhanakan.

$\frac{5}{4} \ln (| u |) + C$

Langkah 8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x$ .

$\frac{5}{4} \ln (| 1 + x |) + C$