Kalkulus Contoh

$\int \frac{8 \arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}} d x$

Langkah 1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$8 \int \frac{\arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 2.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $\frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{(1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}) \cdot 2} d u_{1}$

Langkah 3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{2 (1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2})} d u_{1}$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$8 (\frac{1}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1})$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $8$ .

$\frac{8}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Langkah 5.2

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Langkah 5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{1} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Langkah 5.2.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$4 \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Langkah 6

Biarkan $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Kemudian $d u_{2} = \frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} d u_{1}$ sehingga $- d u_{2} = \frac{- 1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $\arctan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})]$

Langkah 6.1.2

Turunan dari $\arctan (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Langkah 6.1.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$

Langkah 6.1.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$4 \int u_{2} d u_{2}$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u_{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis kembali $4 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ sebagai $4 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$4 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 8.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 8.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 8.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 8.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{1} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 8.2.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2 {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 9

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\arctan (u_{1})$ .

$2 {\arctan (u_{1})}^{2} + C$

Langkah 9.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$2 {\arctan (2 x)}^{2} + C$