Kalkulus Contoh

$\cos^{2} (\frac{x}{2})$

Langkah 1

Tulis $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ sebagai fungsi.

$f (x) = \cos^{2} (\frac{x}{2})$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \cos^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Langkah 4

Biarkan $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Kemudian $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ sehingga $2 d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 4.1.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 4.1.4

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Langkah 5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Langkah 5.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\int 2 \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 6

Karena $2$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 7

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (u_{1})$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$2 \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 9.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 9.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 9.3

Kalikan $\int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$ dengan $1$ .

$\int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 10

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 11

Terapkan aturan konstanta.

$u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 12

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Diferensialkan $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Langkah 12.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $2 u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 12.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 12.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 12.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 13

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Langkah 14

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 15

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)$

Langkah 16

Sederhanakan.

$u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Langkah 17

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Langkah 17.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 u_{1}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1}) + C$

Langkah 17.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2}) + C$

Langkah 18

Gabungkan $2$ dan $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (\frac{2 x}{2}) + C$

Langkah 19

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (\frac{2 x}{2}) + C$

Langkah 19.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (x) + C$

Langkah 19.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \sin (x) + C$

Langkah 20

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \sin (x) + C$