Kalkulus Contoh

$f (x) = \sin^{2} (x)$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) d x$

Langkah 3

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\sin^{2} (x)$ sebagai $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Langkah 8

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 8.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 8.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 9

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Langkah 11

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Langkah 12

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Gabungkan $\sin (2 x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Langkah 14.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Langkah 14.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Langkah 14.4

Kalikan $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 14.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Langkah 15

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Langkah 16

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \sin^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$