Kalkulus Contoh

$y' + 2 y = 0$ , $y = 3 e^{- 2 x}$

Langkah 1

Temukan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})$

Langkah 1.2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 e^{- 2 x}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- 2 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 2 x$ .

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.3.2

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 6 e^{- 2 x} \cdot 1$

Langkah 1.3.3.4

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$- 6 e^{- 2 x}$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

Langkah 2

Substitusikan ke dalam persamaan diferensial yang diberikan.

$- 6 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$- 6 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0$

Langkah 3.2

Tambahkan $- 6 e^{- 2 x}$ dan $6 e^{- 2 x}$ .

$0 = 0$

Langkah 4

Hasil yang didapatkan sesuai dengan persamaan diferensial yang diberikan.

$y = 3 e^{- 2 x}$ adalah penyelesaian dari $y' + 2 y = 0$