Kalkulus Contoh

$\frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 x + 3}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Langkah 5

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int (2 x + 3) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Langkah 6

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x + 3) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\int (2 x + 3) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Langkah 6.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int (2 x + 3) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7

Perluas $(2 x + 3) x^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$\int 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\int 2 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int 2 x^{1 - \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\int 2 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int 2 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7.6

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 7.7

Susun kembali $2 x^{\frac{1}{2}}$ dan $3 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int 3 x^{- \frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 8

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 9

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 11

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 12

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan.

$6 x^{\frac{1}{2}} + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + 2 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Langkah 13.2.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Langkah 13.2.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Langkah 13.3

Susun kembali suku-suku.

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 14

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$