Kalkulus Contoh

$\int [12 x^{2} + \csc^{2} (3 x)] d x$

Langkah 1

Hilangkan tanda kurung.

$\int 12 x^{2} + \csc^{2} (3 x) d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 12 x^{2} d x + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Langkah 3

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $12$ keluar dari integral.

$12 \int x^{2} d x + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Langkah 5

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 5.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 5.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \csc^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \csc^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Langkah 6.2

Gabungkan $\csc^{2} (u)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \frac{\csc^{2} (u)}{3} d u$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Langkah 8

Karena turunan dari $- \cot (u)$ adalah $\csc^{2} (u)$ , maka integral dari $\csc^{2} (u)$ adalah $- \cot (u)$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{3} (- \cot (u) + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan.

$4 x^{3} + \frac{1}{3} (- \cot (u)) + C$

Langkah 9.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\cot (u)$ .

$4 x^{3} - \frac{\cot (u)}{3} + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$4 x^{3} - \frac{\cot (3 x)}{3} + C$

Langkah 11

Susun kembali suku-suku.

$4 x^{3} - \frac{1}{3} \cot (3 x) + C$