Kalkulus Contoh

$\int \sin^{4} (e^{2 x}) \cos (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{3} = \sin (e^{2 x})$ . Kemudian $d u_{3} = 2 e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{3}$ dan $d$ $u_{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{3} = \sin (e^{2 x})$ . Tentukan $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\sin (e^{2 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (e^{2 x})]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $e^{2 x}$ .

$\cos (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x$ .

$\cos (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.1.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Langkah 1.1.4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 2)$

Langkah 1.1.4.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$\cos (e^{2 x}) (2 \cdot e^{2 x})$

Langkah 1.1.4.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari $\cos (e^{2 x}) (2 e^{2 x})$ .

$2 e^{2 x} \cos (e^{2 x})$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{3}$ dan $d u_{3}$ .

$\int {u_{3}}^{4} \frac{1}{2} d u_{3}$

Langkah 2

Gabungkan ${u_{3}}^{4}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{4}}{2} d u_{3}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{3}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{4} d u_{3}$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{3}}^{4}$ terhadap $u_{3}$ adalah $\frac{1}{5} {u_{3}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$ sebagai $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5} {u_{3}}^{5} + C$

Langkah 5.2.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\frac{1}{10} {u_{3}}^{5} + C$

Langkah 6

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $\sin (e^{2 x})$ .

$\frac{1}{10} \sin^{5} (e^{2 x}) + C$