Kalkulus Contoh

$\int x^{2} \sqrt{3 x + 2} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = \sqrt{3 x + 2}$ .

$x^{2} (\frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{2}{9}$ dan ${(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{2} \frac{2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Langkah 3

Karena $\frac{2}{9} \cdot 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{2}{9} \cdot 2$ keluar dari integral.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - (\frac{2}{9} \cdot 2 \int {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan $\frac{2}{9}$ dan $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - (\frac{2 \cdot 2}{9} \int {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Langkah 4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

Langkah 5

Biarkan $u = 3 x + 2$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 3 x + 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 5.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 5.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 + 0$

Langkah 5.1.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$3$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int u^{\frac{3}{2}} (\frac{u}{3} - \frac{2}{3}) \frac{1}{3} d u$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} (\frac{u}{3} - \frac{2}{3}) d u$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{u}{3} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} (- \frac{2}{3}) d u$

Langkah 7.2

Susun kembali $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$ dan $- 1$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

Langkah 7.3

Kalikan $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$ dengan $\frac{u}{3}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}} u}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

Langkah 7.4

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}} u^{1}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

Langkah 7.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2} + 1}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

Langkah 7.6

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

Langkah 7.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{3 + 2}{2}}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

Langkah 7.8

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 3} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

Langkah 7.9

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} - 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \frac{2}{3} d u$

Langkah 7.10

Gabungkan $- 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 2}{3} d u$

Langkah 7.11

Gabungkan $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$ dan $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}}{3} d u$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- 1 \frac{2 \cdot u^{\frac{3}{2}}}{3}}{3} d u$

Langkah 8.2

Tulis kembali $- 1 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ sebagai $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} + \frac{- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}}{3} d u$

Langkah 8.3

Tulis kembali $\frac{- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}}{3}$ sebagai hasil kali.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 8.4

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 3} d u$

Langkah 8.5

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{9} d u + \int - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{9}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{9}$ keluar dari integral.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} \int u^{\frac{5}{2}} d u + \int - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{5}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) + \int - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{2}{7}$ dan $u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

Langkah 13

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \int \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9} d u)$

Langkah 14

Karena $\frac{2}{9}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{2}{9}$ keluar dari integral.

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - (\frac{2}{9} \int u^{\frac{3}{2}} d u))$

Langkah 15

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \frac{2}{9} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \frac{2}{9} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Langkah 16.2

Sederhanakan.

$\frac{2}{9} x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 16.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Gabungkan $\frac{2}{9}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{9} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 16.3.2

Gabungkan $\frac{2 x^{2}}{9}$ dan ${(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 16.3.3

Kalikan $\frac{1}{9}$ dengan $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{9 \cdot 7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 16.3.4

Kalikan $9$ dengan $7$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 16.3.5

Kalikan $\frac{2}{5}$ dengan $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 9} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 16.3.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5 \cdot 9} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 16.3.7

Kalikan $5$ dengan $9$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Langkah 16.3.8

Untuk menuliskan $- \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) \cdot \frac{9}{9} + C$

Langkah 16.3.9

Gabungkan $- \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}})$ dan $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{- \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 9}{9} + C$

Langkah 16.3.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{2}{63} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 9}{9} + C$

Langkah 16.3.11

Gabungkan $\frac{2}{63}$ dan $u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{4}{45} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 9}{9} + C$

Langkah 16.3.12

Gabungkan $u^{\frac{5}{2}}$ dan $\frac{4}{45}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45}) \cdot 9}{9} + C$

Langkah 16.3.13

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 9 (\frac{4}{9}) (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

Langkah 16.3.14

Gabungkan $- 9$ dan $\frac{4}{9}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 \cdot 4}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

Langkah 16.3.15

Kalikan $- 9$ dengan $4$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 36}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

Langkah 16.3.16

Hapus faktor persekutuan dari $- 36$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.16.1

Faktorkan $9$ dari $- 36$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 \cdot - 4}{9} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

Langkah 16.3.16.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.16.2.1

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 \cdot - 4}{9 (1)} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

Langkah 16.3.16.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 \cdot - 4}{9 \cdot 1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

Langkah 16.3.16.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

Langkah 16.3.16.2.4

Bagilah $- 4$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{45})}{9} + C$

Langkah 16.3.17

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{45})}{9} + C$

Langkah 17

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x + 2$ .

$\frac{2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 {(3 x + 2)}^{\frac{7}{2}}}{63} - \frac{4 {(3 x + 2)}^{\frac{5}{2}}}{45})}{9} + C$

Langkah 18

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{9} (2 x^{2} {(3 x + 2)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2}{63} {(3 x + 2)}^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{45} {(3 x + 2)}^{\frac{5}{2}})) + C$