Kalkulus Contoh

$x y^{2} + \frac{x^{2}}{y} = 5$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + \frac{x^{2}}{y}) = \frac{d}{d x} (5)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y^{2} + \frac{x^{2}}{y}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Langkah 2.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Langkah 2.2.6

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y (2 x) - x^{2} y'}{y^{2}}$

Langkah 2.3.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1

Untuk menuliskan $2 x y y'$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$y^{2} + \frac{2 x y y' y^{2}}{y^{2}} + \frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Langkah 2.4.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y^{2} + \frac{2 x y y' y^{2} + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Langkah 2.4.1.3

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.3.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$y^{2} + \frac{2 x (y^{2} y) y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Langkah 2.4.1.3.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.3.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y^{2} + \frac{2 x (y^{2} y^{1}) y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Langkah 2.4.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y^{2} + \frac{2 x y^{2 + 1} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Langkah 2.4.1.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$y^{2} + \frac{2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Langkah 2.4.1.4

Untuk menuliskan $y^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} y^{2}}{y^{2}} + \frac{2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Langkah 2.4.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{y^{2} y^{2} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Langkah 2.4.1.6

Kalikan $y^{2}$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.6.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{y^{2 + 2} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Langkah 2.4.1.6.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{y^{4} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Langkah 2.4.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y'}{y^{2}}$

Langkah 3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y'}{y^{2}} = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y' = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan persamaan untuk $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Kurangkan $y^{4}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y' = - y^{4}$

Langkah 5.2.1.2

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y^{3} x y' - x^{2} y' = - y^{4} - 2 x y$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $x y'$ dari $2 y^{3} x y' - x^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Faktorkan $x y'$ dari $2 y^{3} x y'$ .

$x y' (2 y^{3}) - x^{2} y' = - y^{4} - 2 x y$

Langkah 5.2.2.2

Faktorkan $x y'$ dari $- x^{2} y'$ .

$x y' (2 y^{3}) + x y' (- x) = - y^{4} - 2 x y$

Langkah 5.2.2.3

Faktorkan $x y'$ dari $x y' (2 y^{3}) + x y' (- x)$ .

$x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$

Langkah 5.2.3

Bagi setiap suku pada $x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$ dengan $x (2 y^{3} - x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Bagilah setiap suku di $x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$ dengan $x (2 y^{3} - x)$ .

$\frac{x y' (2 y^{3} - x)}{x (2 y^{3} - x)} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Langkah 5.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' (2 y^{3} - x)}{x (2 y^{3} - x)} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Langkah 5.2.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (2 y^{3} - x)}{2 y^{3} - x} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Langkah 5.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y^{3} - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 y^{3} - x)}{2 y^{3} - x} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Langkah 5.2.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Langkah 5.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Langkah 5.2.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Langkah 5.2.3.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 y}{2 y^{3} - x}$

Langkah 5.2.3.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y}{2 y^{3} - x}$

Langkah 5.2.3.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{2 y}{2 y^{3} - x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y}{2 y^{3} - x} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 5.2.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $x (2 y^{3} - x)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.3.1

Kalikan $\frac{2 y}{2 y^{3} - x}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y x}{(2 y^{3} - x) x}$

Langkah 5.2.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(2 y^{3} - x) x$ .

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

Langkah 5.2.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- y^{4} - 2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

Langkah 5.2.3.3.5

Faktorkan $y$ dari $- y^{4} - 2 y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.5.1

Faktorkan $y$ dari $- y^{4}$ .

$y' = \frac{y (- y^{3}) - 2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

Langkah 5.2.3.3.5.2

Faktorkan $y$ dari $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- y^{3}) + y (- 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Langkah 5.2.3.3.5.3

Faktorkan $y$ dari $y (- y^{3}) + y (- 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- y^{3} - 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Langkah 5.2.3.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- y^{3}$ .

$y' = \frac{y (- (y^{3}) - 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Langkah 5.2.3.3.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{y (- (y^{3}) - (2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

Langkah 5.2.3.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (y^{3}) - (2 x)$ .

$y' = \frac{y (- (y^{3} + 2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

Langkah 5.2.3.3.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.9.1

Tulis kembali $- (y^{3} + 2 x)$ sebagai $- 1 (y^{3} + 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y^{3} + 2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

Langkah 5.2.3.3.9.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y (y^{3} + 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y^{3} + 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$