Kalkulus Contoh

$y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{2} - 16}{x - 2})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 4 x^{2} - 16$ dan $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 16] - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{2} - 16$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.2.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.2.4

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{(x - 2) (8 x + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.2.5

Karena $- 16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 16$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x - 2) (8 x + 0) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Tambahkan $8 x$ dan $0$ .

$\frac{(x - 2) (8 x) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.2.6.2

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $x - 2$ .

$\frac{8 \cdot (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.2.9

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.2.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.10.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.2.10.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(8 x + 8 \cdot - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{8 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{8 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{8 (x \cdot x) + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.4.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.4.1.2

Kalikan $8$ dengan $- 2$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.4.1.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.4.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 16$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.4.2

Kurangi $4 x^{2}$ dengan $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Faktorkan $4$ dari $4 x^{2} - 16 x + 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1.1

Faktorkan $4$ dari $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.5.1.2

Faktorkan $4$ dari $- 16 x$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.5.1.3

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.5.1.4

Faktorkan $4$ dari $4 x^{2} + 4 (- 4 x)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.5.1.5

Faktorkan $4$ dari $4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.5.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.5.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Langkah 3.3.5.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.5.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.6

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x - 2)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.6.2

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$4$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = 4$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4$