Kalkulus Contoh

$\int \frac{x^{5}}{x^{3} - 1} d x$

Langkah 1

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi menggunakan pembagian polinomial panjang.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 1.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{5}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{3}$ .

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 1.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{5} + 0 + 0 - x^{2}$

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

Langkah 1.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

Langkah 1.1.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 1.1.7

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{3} - 1}$

Langkah 1.2

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan pecahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{3} - 1^{3}}$

Langkah 1.2.1.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Langkah 1.2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.3.1

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Langkah 1.2.1.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 1.2.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Langkah 1.2.3

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. Karena faktornya adalah urutan ke-2, $2$ suku diperlukan pada pembilangnya. Jumlah suku yang diperlukan pada pembilang selalu sama dengan urutan faktor pada penyebutnya.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.2.4

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2} (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.2.6.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.2.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.2.7.1.2

Bagilah $(A) (x^{2} + x + 1)$ dengan $1$ .

$x^{2} = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.2.7.2

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.2.7.3

Kalikan $A$ dengan $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.2.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.2.7.4.2

Bagilah $(B x + C) (x - 1)$ dengan $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

Langkah 1.2.7.5

Perluas $(B x + C) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.5.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

Langkah 1.2.7.5.2

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

Langkah 1.2.7.5.3

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Langkah 1.2.7.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.6.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.6.1.1

Pindahkan $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Langkah 1.2.7.6.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Langkah 1.2.7.6.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $B x$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

Langkah 1.2.7.6.3

Tulis kembali $- 1 (B x)$ sebagai $- (B x)$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

Langkah 1.2.7.6.4

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $C$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

Langkah 1.2.7.6.5

Tulis kembali $- 1 C$ sebagai $- C$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Langkah 1.2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.1

Susun kembali $B$ dan $x^{2}$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Langkah 1.2.8.2

Pindahkan $B$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

Langkah 1.2.8.3

Pindahkan $A$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

Langkah 1.2.8.4

Pindahkan $A x$ .

$x^{2} = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

Langkah 1.3

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x^{2}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A + B$

Langkah 1.3.2

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = A - 1 B + C$

Langkah 1.3.3

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = A - 1 C$

Langkah 1.3.4

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$1 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

$1 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

Langkah 1.4

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Selesaikan $A$ dalam $1 = A + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

Langkah 1.4.1.2

Kurangkan $B$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

Langkah 1.4.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $1 - B$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $0 = A - 1 B + C$ dengan $1 - B$ .

$0 = (1 - B) - 1 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Sederhanakan $(1 - B) - 1 B + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1

Tulis kembali $- 1 B$ sebagai $- B$ .

$0 = 1 - B - B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

Langkah 1.4.2.2.1.2

Kurangi $B$ dengan $- B$ .

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

Langkah 1.4.2.3

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $0 = A - 1 C$ dengan $1 - B$ .

$0 = (1 - B) - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

Langkah 1.4.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.4.1

Tulis kembali $- 1 C$ sebagai $- C$ .

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

Langkah 1.4.3

Susun kembali $1$ dan $- B$ .

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

Langkah 1.4.4

Selesaikan $C$ dalam $0 = 1 - 2 B + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $1 - 2 B + C = 0$ .

$1 - 2 B + C = 0$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

Langkah 1.4.4.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 B + C = - 1$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

Langkah 1.4.4.2.2

Tambahkan $2 B$ ke kedua sisi persamaan.

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

Langkah 1.4.5

Substitusikan semua kemunculan $C$ dengan $- 1 + 2 B$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.5.1

Substitusikan semua kemunculan $C$ dalam $0 = 1 - B - C$ dengan $- 1 + 2 B$ .

$0 = 1 - B - (- 1 + 2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Langkah 1.4.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.5.2.1

Sederhanakan $1 - B - (- 1 + 2 B)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.5.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$0 = 1 - B + 1 - (2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Langkah 1.4.5.2.1.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$0 = 1 - B + 1 - (2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Langkah 1.4.5.2.1.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 = 1 - B + 1 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B + 1 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Langkah 1.4.5.2.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.5.2.1.2.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$0 = - B + 2 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Langkah 1.4.5.2.1.2.2

Kurangi $2 B$ dengan $- B$ .

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Langkah 1.4.6

Selesaikan $B$ dalam $0 = - 3 B + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 3 B + 2 = 0$ .

$- 3 B + 2 = 0$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Langkah 1.4.6.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 3 B = - 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Langkah 1.4.6.3

Bagi setiap suku pada $- 3 B = - 2$ dengan $- 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.6.3.1

Bagilah setiap suku di $- 3 B = - 2$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Langkah 1.4.6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.6.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Langkah 1.4.6.3.2.1.2

Bagilah $B$ dengan $1$ .

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Langkah 1.4.6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.6.3.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Langkah 1.4.7

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $\frac{2}{3}$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.7.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $C = - 1 + 2 B$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$C = - 1 + 2 (\frac{2}{3})$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Langkah 1.4.7.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.7.2.1

Sederhanakan $- 1 + 2 (\frac{2}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.7.2.1.1

Kalikan $2 (\frac{2}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.7.2.1.1.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{3}$ .

$C = - 1 + \frac{2 \cdot 2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Langkah 1.4.7.2.1.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$C = - 1 + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = - 1 + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Langkah 1.4.7.2.1.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$C = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Langkah 1.4.7.2.1.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$C = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Langkah 1.4.7.2.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$C = \frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Langkah 1.4.7.2.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.7.2.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$C = \frac{- 3 + 4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Langkah 1.4.7.2.1.5.2

Tambahkan $- 3$ dan $4$ .

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Langkah 1.4.7.3

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $A = - B + 1$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$A = - (\frac{2}{3}) + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Langkah 1.4.7.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.7.4.1

Sederhanakan $- (\frac{2}{3}) + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.7.4.1.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$A = - \frac{2}{3} + \frac{3}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Langkah 1.4.7.4.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A = \frac{- 2 + 3}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Langkah 1.4.7.4.1.3

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Langkah 1.4.8

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$A = \frac{1}{3}, C = \frac{1}{3}, B = \frac{2}{3}$

Langkah 1.5

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $x^{2} + \frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ , $B$ , dan $C$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{2}{3 x} + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Kalikan pembilang dan penyebut dari pecahan dengan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1

Kalikan $\frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Langkah 1.6.1.2

Gabungkan.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x + \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Langkah 1.6.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Langkah 1.6.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Langkah 1.6.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3}) \cdot x + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Langkah 1.6.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Langkah 1.6.3.3

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.3.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2}$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 1}$

Langkah 1.6.3.3.2

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 \cdot 1}$

Langkah 1.6.3.3.3

Faktorkan $3$ dari $3 \cdot 1$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 (1)}$

Langkah 1.6.3.3.4

Faktorkan $3$ dari $3 (x^{2}) + 3 (x)$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x) + 3 (1)}$

Langkah 1.6.3.3.5

Faktorkan $3$ dari $3 (x^{2} + x) + 3 (1)$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 1.6.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x^{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 1.6.5

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int x^{2} + \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int x^{2} d x + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Langkah 5

Biarkan $u_{1} = x - 1$ . Kemudian $d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u_{1} = x - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 5.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Langkah 6

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x$

Langkah 8

Biarkan $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Kemudian $d u_{2} = (2 x + 1) d x$ sehingga $\frac{1}{2 x + 1} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Langkah 8.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 8.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 8.1.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Langkah 8.1.6

Tambahkan $2 x + 1$ dan $0$ .

$2 x + 1$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 9

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Langkah 10

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 11

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x - 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 11.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{3} \ln (| x^{2} + x + 1 |) + C$