Kalkulus Contoh

$y' + y'' = 6 e^{2 x}$ , $y = e^{2 x}$

Langkah 1

Temukan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Langkah 1.2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Langkah 1.3.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Langkah 1.3.2.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = 2 e^{2 x}$

Langkah 2

Temukan $y''$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunannya.

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Langkah 2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 e^{2 x}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.4

Hilangkan tanda kurung.

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

Langkah 2.8

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$y'' = 4 e^{2 x}$

Langkah 3

Substitusikan ke dalam persamaan diferensial yang diberikan.

$2 e^{2 x} + 4 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Langkah 4

Tambahkan $2 e^{2 x}$ dan $4 e^{2 x}$ .

$6 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Langkah 5

Hasil yang didapatkan sesuai dengan persamaan diferensial yang diberikan.

$y = e^{2 x}$ adalah penyelesaian dari $y' + y'' = 6 e^{2 x}$