Kalkulus Contoh

$\int \frac{x}{e^{2 x}} d x$

Langkah 1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tiadakan eksponen dari $e^{2 x}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\int x {(e^{2 x})}^{- 1} d x$

Langkah 1.2

Kalikan eksponen dalam ${(e^{2 x})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x e^{2 x \cdot - 1} d x$

Langkah 1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\int x e^{- 2 x} d x$

Langkah 2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- 2 x}$ .

$x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $e^{- 2 x}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Langkah 4

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Langkah 5.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Langkah 6

Biarkan $u = - 2 x$ . Kemudian $d u = - 2 d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = - 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 6.1.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Langkah 6.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 7.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Langkah 10.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Langkah 11

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tulis kembali $- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ sebagai $- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Langkah 12.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Langkah 12.2.2

Gabungkan $e^{- 2 x}$ dan $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 2 x$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Langkah 14

Gabungkan $e^{- 2 x}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Langkah 15

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$