Kalkulus Contoh

$\ln (x + 1)$

Langkah 1

Tulis $\ln (x + 1)$ sebagai fungsi.

$f (x) = \ln (x + 1)$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \ln (x + 1) d x$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x + 1)$ dan $d v = 1$ .

$\ln (x + 1) x - \int x \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 5

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x + 1}$ .

$\ln (x + 1) x - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 6

Bagilah $x$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Langkah 6.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Langkah 6.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Langkah 6.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Langkah 6.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Langkah 6.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\ln (x + 1) x - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (x + 1) x - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (x + 1) x - (x + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (x + 1) x - (x + C - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Langkah 10

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 10.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 10.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 10.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (x + 1) x - (x + C - \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 11

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (x + 1) x - (x + C - (\ln (| u |) + C))$

Langkah 12

Sederhanakan.

$\ln (x + 1) x - x + \ln (| u |) + C$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$\ln (x + 1) x - x + \ln (| x + 1 |) + C$

Langkah 14

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \ln (x + 1)$ .

$F (x) =$ $\ln (x + 1) x - x + \ln (| x + 1 |) + C$