Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - x^{- 2}}{x - x^{- 1}}$

Langkah 1

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Sederhanakan penjelasan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ubah eksponen negatif menjadi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x - x^{- 1}}$

Langkah 1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

Langkah 1.1.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menuliskan $x^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

Langkah 1.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

Langkah 1.1.2.3

Untuk menuliskan $x$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{\frac{x \cdot x}{x} - \frac{1}{x}}$

Langkah 1.1.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{\frac{x \cdot x - 1}{x}}$

Langkah 1.2

Sederhanakan penjelasan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

Langkah 1.2.2

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2 + 2} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

Langkah 1.2.2.1.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

Langkah 1.2.2.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1} x - 1}$

Langkah 1.2.2.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1} x^{1} - 1}$

Langkah 1.2.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1 + 1} - 1}$

Langkah 1.2.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{2} - 1}$

Langkah 1.2.2.6

Kalikan $\frac{x^{4} - 1}{x^{2}}$ dengan $\frac{x}{x^{2} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{4} - 1) x}{x^{2} (x^{2} - 1)}$

Langkah 1.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Faktorkan $x$ dari $(x^{4} - 1) x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x^{2} (x^{2} - 1)}$

Langkah 1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} (x^{2} - 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x (x (x^{2} - 1))}$

Langkah 1.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x (x (x^{2} - 1))}$

Langkah 1.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x (x^{2} - 1)}$

Langkah 2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Langkah 2.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Langkah 2.1.2.1.2

Pindahkan pangkat $4$ dari $x^{4}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Langkah 2.1.2.1.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Langkah 2.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1^{4} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Langkah 2.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Langkah 2.1.2.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Langkah 2.1.2.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Langkah 2.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Langkah 2.1.3.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot (lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1)}$

Langkah 2.1.3.3

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1)}$

Langkah 2.1.3.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Langkah 2.1.3.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $1$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{1 \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Langkah 2.1.3.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{1 \cdot (1^{2} - 1 \cdot 1)}$

Langkah 2.1.3.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.1

Kalikan $1^{2} - 1 \cdot 1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Langkah 2.1.3.6.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 2.1.3.6.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Langkah 2.1.3.6.3

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.1.3.6.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.1.3.7

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x (x^{2} - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Langkah 2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Langkah 2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Langkah 2.3.5

Tambahkan $4 x^{3}$ dan $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Langkah 2.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x^{2} - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.10

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.11

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 (x^{1} x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.12

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.13

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.14

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.15

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + (x^{2} - 1) \cdot 1}$

Langkah 2.3.16

Kalikan $x^{2} - 1$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + x^{2} - 1}$

Langkah 2.3.17

Tambahkan $2 x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{3 x^{2} - 1}$

Langkah 3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{x^{3}}{3 x^{2} - 1}$

Langkah 3.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$4 \frac{lim_{x \to 1} x^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 1}$

Langkah 3.3

Pindahkan pangkat $3$ dari $x^{3}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 1}$

Langkah 3.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $1$ .

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Langkah 3.5

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Langkah 3.6

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Langkah 3.7

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $1$ .

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Langkah 4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $1$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$4 \frac{1^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Langkah 4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $1$ ke dalam (Variabel2).

$4 \frac{1^{3}}{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$4 \frac{1}{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Langkah 5.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$4 \frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 5.2.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$4 \frac{1}{3 - 1 \cdot 1}$

Langkah 5.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$4 \frac{1}{3 - 1}$

Langkah 5.2.4

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$4 (\frac{1}{2})$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2}$

Langkah 5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Langkah 5.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2$