Kalkulus Contoh

$x^{2} y - \frac{x}{y} = - 2$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (- 2)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y - \frac{x}{y}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Langkah 2.2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = - 1$ dan $g (x) = \frac{x}{y}$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Langkah 2.3.6

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Langkah 2.3.7

Kalikan $\frac{x}{y}$ dengan $0$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

Langkah 2.3.8

Tambahkan $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ dan $0$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1

Untuk menuliskan $x^{2} y'$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$2 y x + \frac{x^{2} y' y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Langkah 2.4.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 y x + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$

Langkah 2.4.2

Susun kembali suku-suku.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$

Langkah 3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}} = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y - (- x y')}{y^{2}} = 0$

Langkah 5.1.1.2

Kalikan $- (- x y')$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + 1 (x y')}{y^{2}} = 0$

Langkah 5.1.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Langkah 5.1.2

Untuk menuliskan $2 x y$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y \cdot y^{2}}{y^{2}} + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Langkah 5.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 x y \cdot y^{2} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Langkah 5.1.4

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$\frac{2 x (y^{2} y) + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Langkah 5.1.4.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 x (y^{2} y^{1}) + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Langkah 5.1.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x y^{2 + 1} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Langkah 5.1.4.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{2 x y^{3} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Langkah 5.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 x y^{3} + x^{2} y' y^{2} - y + x y' = 0$

Langkah 5.3

Selesaikan persamaan untuk $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Kurangkan $2 x y^{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} y' y^{2} - y + x y' = - 2 x y^{3}$

Langkah 5.3.1.2

Tambahkan $y$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} y' y^{2} + x y' = - 2 x y^{3} + y$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $x y'$ dari $x^{2} y' y^{2} + x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $x y'$ dari $x^{2} y' y^{2}$ .

$x y' (x y^{2}) + x y' = - 2 x y^{3} + y$

Langkah 5.3.2.2

Faktorkan $x y'$ dari $x y'$ .

$x y' (x y^{2}) + x y' \cdot 1 = - 2 x y^{3} + y$

Langkah 5.3.2.3

Faktorkan $x y'$ dari $x y' (x y^{2}) + x y' \cdot 1$ .

$x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$

Langkah 5.3.3

Bagi setiap suku pada $x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$ dengan $x (x y^{2} + 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Bagilah setiap suku di $x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$ dengan $x (x y^{2} + 1)$ .

$\frac{x y' (x y^{2} + 1)}{x (x y^{2} + 1)} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' (x y^{2} + 1)}{x (x y^{2} + 1)} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (x y^{2} + 1)}{x y^{2} + 1} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x y^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x y^{2} + 1)}{x y^{2} + 1} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{x y^{2} + 1} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(x y^{2} + 1) x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.3.1

Kalikan $\frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{3} x}{(x y^{2} + 1) x} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(x y^{2} + 1) x$ .

$y' = - \frac{2 y^{3} x}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 2 y^{3} x + y}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.5

Faktorkan $y$ dari $- 2 y^{3} x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.5.1

Faktorkan $y$ dari $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.5.2

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y^{1}}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.5.3

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y \cdot 1}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.5.4

Faktorkan $y$ dari $y (- 2 y^{2} x) + y \cdot 1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x + 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x) + 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.7

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x) - 1 (- 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 y^{2} x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x - 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.9.1

Tulis kembali $- (2 y^{2} x - 1)$ sebagai $- 1 (2 y^{2} x - 1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (2 y^{2} x - 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.9.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y (2 y^{2} x - 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 y^{2} x - 1)}{x (x y^{2} + 1)}$