Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{3 x^{2}} - \sqrt{x} + π$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{3 x^{2}} - \sqrt{x} + π d x$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{x^{2}}{4} d x + \int \frac{2}{3 x^{2}} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int x^{2} d x + \int \frac{2}{3 x^{2}} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \frac{2}{3 x^{2}} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

Langkah 6

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{2}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

Langkah 7

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

Langkah 7.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

Langkah 7.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} \int x^{- 2} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \int - \sqrt{x} d x + \int π d x$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) - \int \sqrt{x} d x + \int π d x$

Langkah 10

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) - \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int π d x$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int π d x$

Langkah 12

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + π x + C$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + π x + C$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

$\frac{x^{3}}{12} - \frac{2}{3 x} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + π x + C$

Langkah 14

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{12} x^{3} - \frac{2}{3 x} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + π x + C$

Langkah 15

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2}{3 x^{2}} - \sqrt{x} + π$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{12} x^{3} - \frac{2}{3 x} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + π x + C$