Kalkulus Contoh

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = 4 x^{2} - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{2} - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Langkah 2.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Langkah 2.4

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Langkah 2.5

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x + 0)$

Langkah 2.6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tambahkan $8 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x)$

Langkah 2.6.2

Gabungkan $8$ dan $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x$

Langkah 2.6.3

Gabungkan $\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ dan $x$ .

$\frac{8 x}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{8 x}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

Langkah 3.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tulis kembali ${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ sebagai $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ .

$\frac{8 x}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

Langkah 3.2.2

Perluas $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Langkah 3.2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

Langkah 3.2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Langkah 3.2.3.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Langkah 3.2.3.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Langkah 3.2.3.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Langkah 3.2.3.1.3

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Langkah 3.2.3.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $4$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

Langkah 3.2.3.1.5

Kalikan $4$ dengan $- 3$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

Langkah 3.2.3.1.6

Kalikan $- 3$ dengan $- 3$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

Langkah 3.2.3.2

Kurangi $12 x^{2}$ dengan $- 12 x^{2}$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

Langkah 3.2.4

Tambahkan $9$ dan $1$ .

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

Langkah 3.2.5

Faktorkan $2$ dari $16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Faktorkan $2$ dari $16 x^{4}$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

Langkah 3.2.5.2

Faktorkan $2$ dari $- 24 x^{2}$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

Langkah 3.2.5.3

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Langkah 3.2.5.4

Faktorkan $2$ dari $2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

Langkah 3.2.5.5

Faktorkan $2$ dari $2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ .

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Langkah 3.3

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $2$ dari $8 x$ .

$\frac{2 (4 x)}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (4 x)}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

Langkah 3.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 x}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$