Kalkulus Contoh

$f (x) = 12 x^{3} + \frac{24}{x^{4}} - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int 12 x^{3} + \frac{24}{x^{4}} - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 12 x^{3} d x + \int \frac{24}{x^{4}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 4

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $12$ keluar dari integral.

$12 \int x^{3} d x + \int \frac{24}{x^{4}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \frac{24}{x^{4}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 6

Karena $24$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $24$ keluar dari integral.

$12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pindahkan $x^{4}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 7.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 7.2.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 \int x^{- 4} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan $x^{- 3}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 9.2

Pindahkan $x^{- 3}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 11

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - (2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Langkah 12

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 12.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Langkah 12.3

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Langkah 12.4

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Langkah 12.4.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Langkah 12.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan.

$3 x^{4} - \frac{8}{x^{3}} - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Langkah 14.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$3 x^{4} - \frac{8}{x^{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 15

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = 12 x^{3} + \frac{24}{x^{4}} - \frac{2}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $3 x^{4} - \frac{8}{x^{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$