Kalkulus Contoh

$f (x) = 9 x^{\frac{4}{5}} + x - \frac{2}{x^{3}} - \sqrt{x}$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int 9 x^{\frac{4}{5}} + x - \frac{2}{x^{3}} - \sqrt{x} d x$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 9 x^{\frac{4}{5}} d x + \int x d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Langkah 4

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $9$ keluar dari integral.

$9 \int x^{\frac{4}{5}} d x + \int x d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{4}{5}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}}$ .

$9 (\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} + C) + \int x d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$9 (\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Langkah 7

Gabungkan $\frac{5}{9}$ dan $x^{\frac{9}{5}}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Langkah 9

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int - \sqrt{x} d x$

Langkah 10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Langkah 10.2

Pindahkan $x^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Langkah 10.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Langkah 10.3.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int x^{- 3} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \sqrt{x} d x$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $x^{- 2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \sqrt{x} d x$

Langkah 12.2

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \sqrt{x} d x$

Langkah 13

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \sqrt{x} d x$

Langkah 14

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 15

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

Langkah 16.2

Sederhanakan.

$5 x^{\frac{9}{5}} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Langkah 17

Susun kembali suku-suku.

$5 x^{\frac{9}{5}} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 18

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = 9 x^{\frac{4}{5}} + x - \frac{2}{x^{3}} - \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $5 x^{\frac{9}{5}} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$