Kalkulus Contoh

$(\sin (y) - y \sin (x)) d x + (\cos (x) + x \cos (y) - y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = \sin (y) - y \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) - y \sin (x)]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (y) - y \sin (x)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$

Langkah 1.3

Turunan dari $\sin (y)$ terhadap $y$ adalah $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- y \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- \sin (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y \sin (x)$ terhadap $y$ adalah $- \sin (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) - \sin (x) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) - \sin (x) \cdot 1$

Langkah 1.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) - \sin (x)$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = \cos (x) + x \cos (y) - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x) + x \cos (y) - y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (x) + x \cos (y) - y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $\cos (y)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x \cos (y)$ terhadap $x$ adalah $\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.4.3

Kalikan $\cos (y)$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y) + 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $- \sin (x) + \cos (y)$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x) + \cos (y)$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $\cos (y) - \sin (x)$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- \sin (x) + \cos (y)$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (y) - \sin (x) = - \sin (x) + \cos (y)$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$\cos (y) - \sin (x) = - \sin (x) + \cos (y)$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \sin (y) - y \sin (x) d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = \sin (y) - y \sin (x)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int \sin (y) d x + \int - y \sin (x) d x$

Langkah 5.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \sin (y) x + C + \int - y \sin (x) d x$

Langkah 5.3

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- y$ keluar dari integral.

$f (x, y) = \sin (y) x + C - y \int \sin (x) d x$

Langkah 5.4

Integral dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \cos (x)$ .

$f (x, y) = \sin (y) x + C - y (- \cos (x) + C)$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (y) x + y \cos (x) + g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (y) x + y \cos (x) + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\sin (y) x] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (y) x] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\sin (y) x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\sin (y) x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Langkah 8.3.2

Turunan dari $\sin (y)$ terhadap $y$ adalah $\cos (y)$ .

$x \cos (y) + \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Langkah 8.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Karena $\cos (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y \cos (x)$ terhadap $y$ adalah $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \cos (y) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Langkah 8.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x \cos (y) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Langkah 8.4.3

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$x \cos (y) + \cos (x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x \cos (y) + \cos (x) + \frac{d g}{d y} = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Langkah 8.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x \cos (y) + \cos (x) = \cos (x) + x \cos (y) - y$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $x \cos (y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} + \cos (x) = \cos (x) + x \cos (y) - y - x \cos (y)$

Langkah 9.1.2

Kurangkan $\cos (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = \cos (x) + x \cos (y) - y - x \cos (y) - \cos (x)$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $\cos (x) + x \cos (y) - y - x \cos (y) - \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kurangi $x \cos (y)$ dengan $x \cos (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (x) - y + 0 - \cos (x)$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $\cos (x) - y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (x) - y - \cos (x)$

Langkah 9.1.3.3

Kurangi $\cos (x)$ dengan $\cos (x)$ .

$\frac{d g}{d y} = - y + 0$

Langkah 9.1.3.4

Tambahkan $- y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y$

Langkah 10

Temukan $- y$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y d y$

Langkah 10.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = - \int y d y$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 10.5

Tulis kembali $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) + g (y)$ .

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 12

Sederhanakan $f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{y^{2}}{2} + C$

Langkah 12.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = \sin (y) x + y \cos (x) - \frac{y^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + y \cos (x) - \frac{y^{2}}{2} + C$