Kalkulus Contoh

$\frac{d f}{d x} = 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4}$ , $f (0) = 9$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d f = 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d f = \int 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$f + C_{1} = \int 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $45$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $45$ keluar dari integral.

$f + C_{1} = 45 \int x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = 9 x^{2} + 4$ . Kemudian $d u = 18 x d x$ sehingga $\frac{1}{18} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = 9 x^{2} + 4$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $9 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4]$

Langkah 2.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 x^{2} + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.3.2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.3.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.3.2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.3.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.4.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$18 x + 0$

Langkah 2.3.2.1.4.2

Tambahkan $18 x$ dan $0$ .

$18 x$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$f + C_{1} = 45 \int \sqrt{u} \frac{1}{18} d u$

Langkah 2.3.3

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{18}$ .

$f + C_{1} = 45 \int \frac{\sqrt{u}}{18} d u$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{18}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{18}$ keluar dari integral.

$f + C_{1} = 45 (\frac{1}{18} \int \sqrt{u} d u)$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Gabungkan $\frac{1}{18}$ dan $45$ .

$f + C_{1} = \frac{45}{18} \int \sqrt{u} d u$

Langkah 2.3.5.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $45$ dan $18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.2.1

Faktorkan $9$ dari $45$ .

$f + C_{1} = \frac{9 (5)}{18} \int \sqrt{u} d u$

Langkah 2.3.5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.2.2.1

Faktorkan $9$ dari $18$ .

$f + C_{1} = \frac{9 \cdot 5}{9 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Langkah 2.3.5.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f + C_{1} = \frac{9 \cdot 5}{9 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Langkah 2.3.5.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \int \sqrt{u} d u$

Langkah 2.3.5.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 2.3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$f + C_{1} = \frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Tulis kembali $\frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ sebagai $\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.1

Kalikan $\frac{5}{2}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$f + C_{1} = \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.2

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$f + C_{1} = \frac{10}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f + C_{1} = \frac{10}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$f + C_{1} = \frac{2 (5)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f + C_{1} = \frac{5}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $9 x^{2} + 4$ .

$f + C_{1} = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $9$ untuk $f$ padda $f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ .

$9 = \frac{5}{3} {(9 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{5}{3} \cdot {(9 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$ .

$\frac{5}{3} \cdot {(9 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

Langkah 4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot {(9 \cdot 0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $9$ dengan $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot {(0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $0$ dan $4$ .

$\frac{5}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} + K = 9$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{5}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

Langkah 4.2.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 9$

Langkah 4.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 9$

Langkah 4.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5}{3} \cdot 2^{3} + K = 9$

Langkah 4.2.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{5}{3} \cdot 8 + K = 9$

Langkah 4.2.7

Kalikan $\frac{5}{3} \cdot 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.1

Gabungkan $\frac{5}{3}$ dan $8$ .

$\frac{5 \cdot 8}{3} + K = 9$

Langkah 4.2.7.2

Kalikan $5$ dengan $8$ .

$\frac{40}{3} + K = 9$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $\frac{40}{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 9 - \frac{40}{3}$

Langkah 4.3.2

Untuk menuliskan $9$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$K = 9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

Langkah 4.3.3

Gabungkan $9$ dan $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{40}{3}$

Langkah 4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$K = \frac{9 \cdot 3 - 40}{3}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $9$ dengan $3$ .

$K = \frac{27 - 40}{3}$

Langkah 4.3.5.2

Kurangi $40$ dengan $27$ .

$K = \frac{- 13}{3}$

Langkah 4.3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$K = - \frac{13}{3}$

Langkah 5

Substitusikan $- \frac{13}{3}$ untuk $K$ dalam $f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- \frac{13}{3}$ untuk $K$ .

$f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{13}{3}$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{5}{3}$ dan ${(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f = \frac{5 {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{13}{3}$

Langkah 5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f = \frac{5 {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - 13}{3}$