Kalkulus Contoh

$(2 x + \frac{y}{x}) d x + (4 y + \ln (x)) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x + \frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + \frac{y}{x}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + \frac{y}{x}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Langkah 1.2.2

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $\frac{1}{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{y}{x}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

Langkah 1.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 4 y + \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y + \ln (x)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 y + \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 2.2.2

Karena $4 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 2.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{x}$

Langkah 2.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $\frac{1}{x}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $\frac{1}{x}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 y + \ln (x) d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = 4 y + \ln (x)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 4 y d y + \int \ln (x) d y$

Langkah 5.2

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 4 \int y d y + \int \ln (x) d y$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int \ln (x) d y$

Langkah 5.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \ln (x) y + C$

Langkah 5.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = 4 (\frac{y^{2}}{2} + C) + \ln (x) y + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + \frac{y}{x}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Langkah 8.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Langkah 8.2.2

Karena $2 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\ln (x) y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\ln (x) y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$0 + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Langkah 8.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$0 + y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Langkah 8.3.3

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 2 x + \frac{y}{x}$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Tambahkan $0$ dan $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 2 x + \frac{y}{x}$

Langkah 8.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = 2 x + \frac{y}{x}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - 2 x = \frac{y}{x}$

Langkah 9.1.1.2

Kurangkan $\frac{y}{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - 2 x - \frac{y}{x} = 0$

Langkah 9.1.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - 2 x - \frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.3.1

Kurangi $\frac{y}{x}$ dengan $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x + 0 = 0$

Langkah 9.1.1.3.2

Tambahkan $\frac{d g}{d x} - 2 x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x = 0$

Langkah 9.1.2

Tambahkan $2 x$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Langkah 10

Temukan $2 x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Langkah 10.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$g (x) = 2 \int x d x$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 10.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 10.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + x^{2} + C$

Langkah 12

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + x^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} + y \ln (x) + x^{2} + C$