Kalkulus Contoh

$2 y d x + e^{- 3 x} d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $2 y d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$e^{- 3 x} d y = - 2 y d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ .

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $e^{- 3 x}$ dari $e^{- 3 x} y$ .

$\frac{1}{e^{- 3 x} (y)} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{e^{- 3 x} y} y d x$

Langkah 3.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x} y} y d x$

Langkah 3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $y$ dari $e^{- 3 x} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

Langkah 3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

Langkah 3.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x}} d x$

Langkah 3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Langkah 4.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Langkah 4.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x)$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x$

Langkah 4.3.3.2

Tiadakan eksponen dari $e^{- 3 x}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 {(e^{- 3 x})}^{- 1} d x$

Langkah 4.3.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.3.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{- 3 x})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{- 3 x \cdot - 1} d x$

Langkah 4.3.3.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{3 x} d x$

Langkah 4.3.3.3.2

Kalikan $e^{3 x}$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{3 x} d x$

Langkah 4.3.4

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 4.3.4.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.3.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 4.3.4.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Langkah 4.3.5

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Langkah 4.3.6

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{3} \int e^{u} d u$

Langkah 4.3.7.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

Langkah 4.3.8

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

Langkah 4.3.9

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

Langkah 4.3.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C}$

Langkah 5.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C} = | y |$

Langkah 5.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gabungkan $e^{3 x}$ dan $\frac{2}{3}$ .

$| y | = e^{- \frac{e^{3 x} \cdot 2}{3} + C}$

Langkah 5.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{3 x}$ .

$| y | = e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

Langkah 5.3.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

Langkah 6

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$ sebagai $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$

Langkah 6.2

Susun kembali $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$

Langkah 6.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$