Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 y - 8}{8 x - 7}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{9 y - 8}$ .

$\frac{1}{9 y - 8} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{9 y - 8} \cdot \frac{9 y - 8}{8 x - 7}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $9 y - 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{9 y - 8} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{9 y - 8} \cdot \frac{9 y - 8}{8 x - 7}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{9 y - 8} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{8 x - 7}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{9 y - 8} d y = \frac{1}{8 x - 7} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{9 y - 8} d y = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u_{1} = 9 y - 8$ . Kemudian $d u_{1} = 9 d y$ sehingga $\frac{1}{9} d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u_{1} = 9 y - 8$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $9 y - 8$ .

$\frac{d}{d y} [9 y - 8]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 y - 8$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [9 y] + \frac{d}{d y} [- 8]$ .

$\frac{d}{d y} [9 y] + \frac{d}{d y} [- 8]$

Langkah 2.2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [9 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.3.1

Karena $9$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $9 y$ terhadap $y$ adalah $9 \frac{d}{d y} [y]$ .

$9 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 8]$

Langkah 2.2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 8]$

Langkah 2.2.1.1.3.3

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$9 + \frac{d}{d y} [- 8]$

Langkah 2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.4.1

Karena $- 8$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 8$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$9 + 0$

Langkah 2.2.1.1.4.2

Tambahkan $9$ dan $0$ .

$9$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{9} d u_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{1}}$ dengan $\frac{1}{9}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 9} d u_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

Langkah 2.2.2.2

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{9 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{9}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{9}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{9} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{9} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $9 y - 8$ .

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u_{2} = 8 x - 7$ . Kemudian $d u_{2} = 8 d x$ sehingga $\frac{1}{8} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u_{2} = 8 x - 7$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $8 x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [8 x - 7]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 x - 7$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 2.3.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.3.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 2.3.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 2.3.1.1.3.3

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 2.3.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.4.1

Karena $- 7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$8 + 0$

Langkah 2.3.1.1.4.2

Tambahkan $8$ dan $0$ .

$8$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

Langkah 2.3.2.2

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \int \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{8}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \frac{1}{8} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \frac{1}{8} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $8 x - 7$ .

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) = \frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $9$ .

$9 (\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |)) = 9 (\frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $9 (\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{9}$ dan $\ln (| 9 y - 8 |)$ .

$9 \frac{\ln (| 9 y - 8 |)}{9} = 9 (\frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$9 \frac{\ln (| 9 y - 8 |)}{9} = 9 (\frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 (\frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $9 (\frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $\ln (| 8 x - 7 |)$ .

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 (\frac{\ln (| 8 x - 7 |)}{8} + C)$

Langkah 3.2.2.1.2

Untuk menuliskan $C$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{8}{8}$ .

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 (\frac{\ln (| 8 x - 7 |)}{8} + C \cdot \frac{8}{8})$

Langkah 3.2.2.1.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Gabungkan $C$ dan $\frac{8}{8}$ .

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 (\frac{\ln (| 8 x - 7 |)}{8} + \frac{C \cdot 8}{8})$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 \frac{\ln (| 8 x - 7 |) + C \cdot 8}{8}$

Langkah 3.2.2.1.4

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $C$ .

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 \frac{\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C}{8}$

Langkah 3.2.2.1.5

Gabungkan $9$ dan $\frac{\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C}{8}$ .

$\ln (| 9 y - 8 |) = \frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 9 y - 8 |)} = e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (| 9 y - 8 |) = \frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}} = | 9 y - 8 |$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 9 y - 8 | = e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}$ .

$| 9 y - 8 | = e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}$

Langkah 3.5.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$9 y - 8 = \pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}$

Langkah 3.5.3

Tambahkan $8$ ke kedua sisi persamaan.

$9 y = \pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}} + 8$

Langkah 3.5.4

Bagi setiap suku pada $9 y = \pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}} + 8$ dengan $9$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Bagilah setiap suku di $9 y = \pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}} + 8$ dengan $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{\pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}}{9} + \frac{8}{9}$

Langkah 3.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9 y}{9} = \frac{\pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}}{9} + \frac{8}{9}$

Langkah 3.5.4.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}}{9} + \frac{8}{9}$

Langkah 3.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}} + 8}{9}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + C)}{8}} + 8}{9}$