Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - x y^{3} = 0$ ; ; , $y (2) = 4$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $x y^{3}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d x} = x y^{3}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (x y^{3})$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $y^{3}$ dari $x y^{3}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

Langkah 1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{3}} d y = x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int x d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int x d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 3}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int x d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Tulis kembali $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Langkah 2.2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{y^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int x d x$

Langkah 2.2.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Langkah 3.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$2 y^{2}, 2, 1$

Langkah 3.2.2

Karena $2 y^{2}, 2, 1$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $2, 2, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $y^{2}$ .

Langkah 3.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 3.2.4

Karena $2$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $2$ .

$2$ adalah bilangan prima

Langkah 3.2.5

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.2.6

KPK dari $2, 2, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$2$

Langkah 3.2.7

Faktor-faktor untuk $y^{2}$ adalah $y \cdot y$ , yaitu $y$ dikalikan satu sama lain $2$ kali.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ terjadi $2$ kali.

Langkah 3.2.8

KPK dari $y^{2}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y \cdot y$

Langkah 3.2.9

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y^{2}$

Langkah 3.2.10

KPK untuk $2 y^{2}, 2, 1$ adalah bagian bilangan $2$ dikalikan dengan bagian variabel.

$2 y^{2}$

Langkah 3.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ dengan $2 y^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ dengan $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2 y^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = x^{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.3.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 1 = x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Langkah 3.4.2.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $2 K y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K) = - 1$

Langkah 3.4.2.3

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K)$ .

$y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$

Langkah 3.4.3

Bagi setiap suku pada $y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ dengan $x^{2} + 2 K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Bagilah setiap suku di $y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ dengan $x^{2} + 2 K$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.3.2.1.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = - \frac{1}{x^{2} + 2 K}$

Langkah 3.4.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Langkah 3.4.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Langkah 3.4.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Langkah 3.4.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$

Langkah 5

Karena $y$ positif pada sarat awal $(2, 4)$ , hanya pertimbangkan $y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$ untuk menentukan $K$ . Substitusikan $2$ untuk $x$ dan $4$ untuk $y$ .

$4 = \sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}}$

Langkah 6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}} = 4$ .

$\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}} = 4$

Langkah 6.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}}}^{2} = 4^{2}$

Langkah 6.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}}$ sebagai ${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan ${({(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Langkah 6.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Langkah 6.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{1} = 4^{2}$

Langkah 6.3.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

${(- \frac{1}{4 + K})}^{1} = 4^{2}$

Langkah 6.3.2.1.3

Sederhanakan.

$- \frac{1}{4 + K} = 4^{2}$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{1}{4 + K} = 16$

Langkah 6.4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$4 + K, 1$

Langkah 6.4.1.2

Hilangkan tanda kurung.

$4 + K, 1$

Langkah 6.4.1.3

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$4 + K$

Langkah 6.4.2

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{4 + K} = 16$ dengan $4 + K$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{4 + K} = 16$ dengan $4 + K$ .

$- \frac{1}{4 + K} (4 + K) = 16 (4 + K)$

Langkah 6.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4 + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{4 + K}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{4 + K} (4 + K) = 16 (4 + K)$

Langkah 6.4.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{4 + K} (4 + K) = 16 (4 + K)$

Langkah 6.4.2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = 16 (4 + K)$

Langkah 6.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.3.1

Terapkan sifat distributif.

$- 1 = 16 \cdot 4 + 16 K$

Langkah 6.4.2.3.2

Kalikan $16$ dengan $4$ .

$- 1 = 64 + 16 K$

Langkah 6.4.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $64 + 16 K = - 1$ .

$64 + 16 K = - 1$

Langkah 6.4.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.2.1

Kurangkan $64$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$16 K = - 1 - 64$

Langkah 6.4.3.2.2

Kurangi $64$ dengan $- 1$ .

$16 K = - 65$

Langkah 6.4.3.3

Bagi setiap suku pada $16 K = - 65$ dengan $16$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.3.1

Bagilah setiap suku di $16 K = - 65$ dengan $16$ .

$\frac{16 K}{16} = \frac{- 65}{16}$

Langkah 6.4.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{16 K}{16} = \frac{- 65}{16}$

Langkah 6.4.3.3.2.1.2

Bagilah $K$ dengan $1$ .

$K = \frac{- 65}{16}$

Langkah 6.4.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$K = - \frac{65}{16}$

Langkah 7

Substitusikan $- \frac{65}{16}$ untuk $K$ dalam $y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $- \frac{65}{16}$ untuk $K$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} - \frac{65}{16}}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Untuk menuliskan $x^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{16}{16}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} \cdot \frac{16}{16} - \frac{65}{16}}}$

Langkah 7.2.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{16}{16}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{\frac{x^{2} \cdot 16}{16} - \frac{65}{16}}}$

Langkah 7.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \sqrt{- \frac{1}{\frac{x^{2} \cdot 16 - 65}{16}}}$

Langkah 7.2.4

Pindahkan $16$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{\frac{16 x^{2} - 65}{16}}}$

Langkah 7.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \sqrt{- (1 \frac{16}{16 x^{2} - 65})}$

Langkah 7.4

Kalikan $\frac{16}{16 x^{2} - 65}$ dengan $1$ .

$y = \sqrt{- \frac{16}{16 x^{2} - 65}}$