Kalkulus Contoh

$x e^{- t} \frac{d x}{d y} = t$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$x e^{- t} d x = t d y$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int x e^{- t} d x = \int t d y$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $e^{- t}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $e^{- t}$ keluar dari integral.

$e^{- t} \int x d x = \int t d y$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- t} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) = \int t d y$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Tulis kembali $e^{- t} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ sebagai $e^{- t} \frac{1}{2} x^{2} + C_{1}$ .

$e^{- t} \frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Langkah 2.2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Gabungkan $e^{- t}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{- t}}{2} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Langkah 2.2.3.2.2

Gabungkan $\frac{e^{- t}}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{e^{- t} x^{2}}{2} + C_{1} = \int t d y$

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} + C_{1} = t y + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$

Langkah 3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$ dengan $\frac{1}{2} e^{- t}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$ dengan $\frac{1}{2} e^{- t}$ .

$\frac{\frac{1}{2} e^{- t} x^{2}}{\frac{1}{2} e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{1}{2} e^{- t} x^{2}}{\frac{1}{2} e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Langkah 3.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{e^{- t} x^{2}}{e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Langkah 3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- t} x^{2}}{e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Langkah 3.1.2.2.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{- t}$ .

$x^{2} = \frac{t y}{\frac{e^{- t}}{2}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Langkah 3.1.3.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x^{2} = t y \frac{2}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Langkah 3.1.3.1.3

Kalikan $t y \frac{2}{e^{- t}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.3.1

Gabungkan $t$ dan $\frac{2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = y \frac{t \cdot 2}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Langkah 3.1.3.1.3.2

Gabungkan $y$ dan $\frac{t \cdot 2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = \frac{y (t \cdot 2)}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Langkah 3.1.3.1.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y t$ .

$x^{2} = \frac{2 \cdot (y t)}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Langkah 3.1.3.1.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{- t}$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{e^{- t}}{2}}$

Langkah 3.1.3.1.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + K \frac{2}{e^{- t}}$

Langkah 3.1.3.1.7

Gabungkan $K$ dan $\frac{2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{K \cdot 2}{e^{- t}}$

Langkah 3.1.3.1.8

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $K$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}$

Langkah 3.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y t + 2 K}{e^{- t}}}$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $2$ dari $2 y t + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y t$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t) + 2 K}{e^{- t}}}$

Langkah 3.3.2.2

Faktorkan $2$ dari $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t) + 2 K}{e^{- t}}}$

Langkah 3.3.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 (y t) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t + K)}{e^{- t}}}$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 (y t + K)}{e^{- t}}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$

Langkah 3.3.4

Kalikan $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ dengan $\frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}} \cdot \frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$

Langkah 3.3.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ dengan $\frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}} \sqrt{e^{- t}}}$

Langkah 3.3.5.2

Naikkan $\sqrt{e^{- t}}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1} \sqrt{e^{- t}}}$

Langkah 3.3.5.3

Naikkan $\sqrt{e^{- t}}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1} {\sqrt{e^{- t}}}^{1}}$

Langkah 3.3.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.3.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{2}}$

Langkah 3.3.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{e^{- t}}}^{2}$ sebagai $e^{- t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{e^{- t}}$ sebagai $e^{\frac{- t}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{(e^{\frac{- t}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.3.5.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{(e^{- \frac{t}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.3.5.6.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- \frac{t}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.3.5.6.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- 2 \frac{t}{2}}}$

Langkah 3.3.5.6.5

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{t}{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{- 2 t}{2}}}$

Langkah 3.3.5.6.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.6.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 t$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2}}}$

Langkah 3.3.5.6.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.6.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2 (1)}}}$

Langkah 3.3.5.6.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2 \cdot 1}}}$

Langkah 3.3.5.6.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{- t}{1}}}$

Langkah 3.3.5.6.6.2.4

Bagilah $- t$ dengan $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- t}}$

Langkah 3.3.6

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K) e^{- t}}}{e^{- t}}$

Langkah 3.3.7

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm \frac{\sqrt{2 (y t + K) e^{- t}}}{e^{- t}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Langkah 3.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Langkah 3.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Langkah 3.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$