Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + y$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + y$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + y$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.1.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y}}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.1.3.1.2

Kalikan $\frac{1}{y}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y x} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menuliskan $\frac{y}{x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{y}$

Langkah 1.2.2

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $y x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kalikan $\frac{y}{x}$ dengan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y x} + \frac{y \cdot y}{x y}$

Langkah 1.2.2.2

Susun kembali faktor-faktor dari $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

Langkah 1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y \cdot y}{x y}$

Langkah 1.2.4

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{x y}$

Langkah 1.3

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 1.4

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{y}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} (\frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $\frac{1 + y^{2}}{y}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y x}$

Langkah 1.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $y$ dari $y x$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y (x)}$

Langkah 1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y x}$

Langkah 1.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Langkah 1.5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Langkah 1.5.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 1.6

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 1 + y^{2}$ . Kemudian $d u = 2 y d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 1 + y^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 y$ .

$2 y$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Langkah 3.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Langkah 3.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan $\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Langkah 3.4.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Langkah 3.4.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Langkah 3.5

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

Langkah 3.6

Tulis kembali $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}$

Langkah 3.7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$

Langkah 3.7.2

Kalikan kedua ruas dengan $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Langkah 3.7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Langkah 3.7.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} x^{2}$

Langkah 3.7.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{2 C} x^{2}$ .

$| 1 + y^{2} | = x^{2} e^{2 C}$

Langkah 3.7.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.1

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm x^{2} e^{2 C}$

Langkah 3.7.4.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} - 1$

Langkah 3.7.4.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} - 1}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 1}$

Langkah 4.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$