Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x y$

Langkah 1

Tambahkan $x y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{3}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int x d x}$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

Langkah 2.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{3}$

Langkah 3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = \frac{x^{2}}{2}$ . Kemudian $d u = x d x$ sehingga $\frac{1}{x} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Biarkan $u = \frac{x^{2}}{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Diferensialkan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Langkah 7.1.1.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 7.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x)$

Langkah 7.1.1.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.4.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x$

Langkah 7.1.1.4.2

Gabungkan $\frac{2}{2}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{2}$

Langkah 7.1.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.4.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2}$

Langkah 7.1.1.4.3.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x$

Langkah 7.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {\sqrt{2 u}}^{2} e^{u} d u$

Langkah 7.2

Tulis kembali ${\sqrt{2 u}}^{2}$ sebagai $2 u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2 u}$ sebagai ${(2 u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {({(2 u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} d u$

Langkah 7.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} d u$

Langkah 7.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} d u$

Langkah 7.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} d u$

Langkah 7.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{1} e^{u} d u$

Langkah 7.2.5

Sederhanakan.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int 2 u e^{u} d u$

Langkah 7.3

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \int u e^{u} d u$

Langkah 7.4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int w d v = w v - \int v d w$ , di mana $w = u$ dan $dv = e^{u}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Langkah 7.5

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - e^{u}) + C$

Langkah 7.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (\frac{x^{2}}{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} - e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Langkah 7.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (\frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} - e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Langkah 7.8.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Langkah 7.8.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Langkah 7.8.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Langkah 7.8.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} - 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} + C$

Langkah 7.9

Susun kembali suku-suku.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ dengan $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ dengan $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ dan $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Faktorkan $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ dari $x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 8.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.1.2.4

Bagilah $x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ dengan $1$ .

$y = x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.2.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- x^{2}$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.2.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.2.3

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $0$ .

$y = x^{2} e^{\frac{0}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.4

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$y = x^{2} e^{0} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.5

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$y = x^{2} \cdot 1 + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.6

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.7

Hapus faktor persekutuan dari $e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ dan $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.7.1

Faktorkan $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ dari $- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ .

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.7.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = x^{2} + \frac{- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.7.2.4

Bagilah $- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ dengan $1$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.8.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.8.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.8.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- x^{2}$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.8.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.8.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.8.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.8.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.8.3

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.9

Kalikan $x^{2}$ dengan $0$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.10

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$y = x^{2} - 2 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.11

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$y = x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 8.3.1.12

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$y = x^{2} - 2 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$