Kalkulus Contoh

$\frac{\arcsin (x)}{y} d x + (1 - e^{y}) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{\arcsin (x)}{y} d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(1 - e^{y}) d y = - \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y (1 - e^{y}) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$(y \cdot 1 + y (- e^{y})) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$(y + y (- e^{y})) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(y - y e^{y}) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

Langkah 3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(y - y e^{y}) d y = - y \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$(y - y e^{y}) d y = y \cdot - 1 \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

Langkah 3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$(y - y e^{y}) d y = y \cdot - 1 \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

Langkah 3.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(y - y e^{y}) d y = - \arcsin (x) d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y - y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int y d y + \int - y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

Langkah 4.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

Langkah 4.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - \int y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

Langkah 4.2.4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = y$ dan $d v = e^{y}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (y e^{y} - \int e^{y} d y) = \int - \arcsin (x) d x$

Langkah 4.2.5

Integral dari $e^{y}$ terhadap $y$ adalah $e^{y}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (y e^{y} - (e^{y} + C_{2})) = \int - \arcsin (x) d x$

Langkah 4.2.6

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = \int - \arcsin (x) d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - \int \arcsin (x) d x$

Langkah 4.3.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \arcsin (x)$ dan $d v = 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

Langkah 4.3.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

Langkah 4.3.4

Biarkan $u = 1 - x^{2}$ . Kemudian $d u = - 2 x d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Biarkan $u = 1 - x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.1

Diferensialkan $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 4.3.4.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.3.4.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.3.4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.3.4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Langkah 4.3.4.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2 x$

Langkah 4.3.4.1.4

Kurangi $2 x$ dengan $0$ .

$- 2 x$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u)$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u)$

Langkah 4.3.5.2

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u)$

Langkah 4.3.5.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Langkah 4.3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - - \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + 1 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Langkah 4.3.7.2

Kalikan $\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Langkah 4.3.8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Langkah 4.3.9

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.9.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Langkah 4.3.9.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

Langkah 4.3.9.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.9.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

Langkah 4.3.9.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

Langkah 4.3.9.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Langkah 4.3.10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}))$

Langkah 4.3.11

Tulis kembali $- (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}))$ sebagai $- (\arcsin (x) x + u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

Langkah 4.3.12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

Langkah 4.3.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.13.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Langkah 4.3.13.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \arcsin (x) x - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - x \arcsin (x) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) = - x \arcsin (x) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$