Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 1}{y - 3}$ ; , $y (0) = 4$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y - 3$ .

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = (y - 3) \frac{2 x + 1}{y - 3}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = (y - 3) \frac{2 x + 1}{y - 3}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = 2 x + 1$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$(y - 3) d y = (2 x + 1) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int y d y + \int - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Langkah 2.2.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 3 y + C_{2} = \int 2 x + 1 d x$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int 2 x + 1 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int 2 x d x + \int d x$

Langkah 2.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 \int x d x + \int d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int d x$

Langkah 2.3.4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + x + C_{5}$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + x + C_{5}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = x^{2} + x + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y = x^{2} + x + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y = x^{2} + x + K$

Langkah 3.2

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} = x + K$

Langkah 3.2.2

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} - x = K$

Langkah 3.2.3

Kurangkan $K$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} - x - K = 0$

Langkah 3.3

Kalikan dengan penyebut sekutu terkecil $2$ , kemudian sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$y^{2} - 6 y + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} - 2 x + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} - 2 x - 2 K = 0$

Langkah 3.3.3

Pindahkan $- 6 y$ .

$y^{2} - 2 x^{2} - 2 x - 2 K - 6 y = 0$

Langkah 3.3.4

Pindahkan $- 2 x$ .

$y^{2} - 2 x^{2} - 2 K - 2 x - 6 y = 0$

Langkah 3.3.5

Susun kembali $y^{2}$ dan $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + y^{2} - 2 K - 2 x - 6 y = 0$

Langkah 3.4

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.5

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 6$ , dan $c = - 2 x^{2} - 2 K - 2 x$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.4.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.4.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} + 8 K - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.4.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.5

Faktorkan $4$ dari $36 + 8 x^{2} + 8 K + 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.5.1

Faktorkan $4$ dari $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 8 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.5.2

Faktorkan $4$ dari $8 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.5.3

Faktorkan $4$ dari $8 K$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 K) + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.5.4

Faktorkan $4$ dari $8 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.5.5

Faktorkan $4$ dari $4 (9) + 4 (2 x^{2})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.5.6

Faktorkan $4$ dari $4 (9 + 2 x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.5.7

Faktorkan $4$ dari $4 (9 + 2 x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.6

Tulis kembali $4 (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)$ sebagai $2^{2} (3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.6.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.6.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.8

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$

Langkah 3.6.3

Sederhanakan $\frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

Langkah 3.7

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$

Langkah 5

Karena $y$ positif pada sarat awal $(0, 4)$ , hanya pertimbangkan $y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$ untuk menentukan $K$ . Substitusikan $0$ untuk $x$ dan $4$ untuk $y$ .

$4 = 3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$

Langkah 6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4$ .

$3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4$

Langkah 6.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4 - 3$

Langkah 6.2.2

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 1$

Langkah 6.3

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}}^{2} = 1^{2}$

Langkah 6.4

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$ sebagai ${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Sederhanakan ${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Langkah 6.4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Langkah 6.4.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Langkah 6.4.2.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

${(9 + 2 \cdot 0 + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Langkah 6.4.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

${(9 + 0 + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Langkah 6.4.2.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

${(9 + 0 + K + 0)}^{1} = 1^{2}$

Langkah 6.4.2.1.3

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.3.1

Gabungkan suku balikan dalam $9 + 0 + K + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.3.1.1

Tambahkan $9$ dan $0$ .

${(9 + K + 0)}^{1} = 1^{2}$

Langkah 6.4.2.1.3.1.2

Tambahkan $9 + K$ dan $0$ .

${(9 + K)}^{1} = 1^{2}$

Langkah 6.4.2.1.3.2

Sederhanakan.

$9 + K = 1^{2}$

Langkah 6.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$9 + K = 1$

Langkah 6.5

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Kurangkan $9$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 1 - 9$

Langkah 6.5.2

Kurangi $9$ dengan $1$ .

$K = - 8$

Langkah 7

Substitusikan $- 8$ untuk $K$ dalam $y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $- 8$ untuk $K$ .

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} - 8 + 2 x}$

Langkah 7.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kurangi $8$ dengan $9$ .

$y = 3 + \sqrt{2 x^{2} + 1 + 2 x}$

Langkah 7.2.2

Susun kembali suku-suku.

$y = 3 + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}$