Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.2

Faktorkan $y$ dari $- \frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.3

Susun kembali $y$ dan $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $- \frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 2}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{2}}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Langkah 3.2.3

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Langkah 3.2.4

Kalikan $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Kalikan $\frac{2 y}{x}$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Langkah 3.2.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Langkah 3.2.4.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Langkah 3.2.4.2.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Susun kembali $x^{2}$ dan $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 7.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Langkah 7.2

Integral dari $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\arctan (x) + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \arctan (x) + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{2}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = \arctan (x) + C$

Langkah 8.2

Kalikan kedua ruas dengan $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\arctan (x) + C) x^{2}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\arctan (x) + C) x^{2}$

Langkah 8.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (\arctan (x) + C) x^{2}$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Sederhanakan $(\arctan (x) + C) x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \arctan (x) x^{2} + C x^{2}$

Langkah 8.3.2.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\arctan (x) x^{2} + C x^{2}$ .

$y = x^{2} \arctan (x) + C x^{2}$

Langkah 8.3.2.1.2.2

Susun kembali $x^{2} \arctan (x)$ dan $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} + x^{2} \arctan (x)$