Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x {(2 x - 1)}^{5}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = x {(2 x - 1)}^{5} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int x {(2 x - 1)}^{5} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int x {(2 x - 1)}^{5} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = 2 x - 1$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = 2 x - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 2.3.1.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = \int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) u^{5} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u^{5}$ .

$y + C_{1} = \int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{u^{5}}{2} d u$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$y + C_{1} = \int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Langkah 2.3.3.2

Kalikan $\frac{u}{2}$ dengan $\frac{u^{5}}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u \cdot u^{5}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Langkah 2.3.3.3

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{1} u^{5}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Langkah 2.3.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y + C_{1} = \int \frac{u^{1 + 5}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Langkah 2.3.3.5

Tambahkan $1$ dan $5$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Langkah 2.3.3.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Langkah 2.3.3.7

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{u^{5}}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{4} + \frac{u^{5}}{2 \cdot 2} d u$

Langkah 2.3.3.8

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{4} + \frac{u^{5}}{4} d u$

Langkah 2.3.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{4} d u + \int \frac{u^{5}}{4} d u$

Langkah 2.3.5

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int u^{6} d u + \int \frac{u^{5}}{4} d u$

Langkah 2.3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{6}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{7} u^{7} + C_{2}) + \int \frac{u^{5}}{4} d u$

Langkah 2.3.7

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{7} u^{7} + C_{2}) + \frac{1}{4} \int u^{5} d u$

Langkah 2.3.8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{5}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{7} u^{7} + C_{2}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{6} u^{6} + C_{3})$

Langkah 2.3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.1

Sederhanakan.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C_{4}$

Langkah 2.3.9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.2.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{7}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4 \cdot 7} u^{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C_{4}$

Langkah 2.3.9.2.2

Kalikan $4$ dengan $7$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{28} u^{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C_{4}$

Langkah 2.3.9.2.3

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{28} u^{7} + \frac{1}{4 \cdot 6} u^{6} + C_{4}$

Langkah 2.3.9.2.4

Kalikan $4$ dengan $6$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{28} u^{7} + \frac{1}{24} u^{6} + C_{4}$

Langkah 2.3.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x - 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{28} {(2 x - 1)}^{7} + \frac{1}{24} {(2 x - 1)}^{6} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = \frac{1}{28} {(2 x - 1)}^{7} + \frac{1}{24} {(2 x - 1)}^{6} + K$