Kalkulus Contoh

$x (\frac{d y}{d x}) - 2 y = x^{3} \cos (4 x)$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} - 2 y = x^{3} \cos (4 x)$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} \cos (4 x)}{x}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} \cos (4 x)}{x}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} \cos (4 x)}{x}$

Langkah 1.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{3}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3} \cos (4 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} \cos (4 x))}{x}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} \cos (4 x))}{x^{1}}$

Langkah 1.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} \cos (4 x))}{x \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} \cos (4 x))}{x \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2} \cos (4 x)}{1}$

Langkah 1.3.2.5

Bagilah $x^{2} \cos (4 x)$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = x^{2} \cos (4 x)$

Langkah 1.4

Faktorkan $y$ dari $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = x^{2} \cos (4 x)$

Langkah 1.5

Susun kembali $y$ dan $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = x^{2} \cos (4 x)$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{- 2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{- 2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Langkah 2.2.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 2.2.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 2}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{2}}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Langkah 3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Kalikan $\frac{2 y}{x}$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Langkah 3.2.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Langkah 3.2.5.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Langkah 3.2.5.2.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} \cos (4 x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (\cos (4 x)))$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \cos (4 x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \cos (4 x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \cos (4 x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \cos (4 x) d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = 4 x$ . Kemudian $d u = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Biarkan $u = 4 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Diferensialkan $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 7.1.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Langkah 7.1.1.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4$

Langkah 7.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

Langkah 7.2

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{\cos (u)}{4} d u$

Langkah 7.3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

Langkah 7.4

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Langkah 7.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 x$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{1}{4} \sin (4 x) + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{2}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{4} \sin (4 x) + C$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\sin (4 x)$ .

$\frac{y}{x^{2}} = \frac{\sin (4 x)}{4} + C$

Langkah 8.3

Kalikan kedua ruas dengan $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\frac{\sin (4 x)}{4} + C) x^{2}$

Langkah 8.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\frac{\sin (4 x)}{4} + C) x^{2}$

Langkah 8.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (\frac{\sin (4 x)}{4} + C) x^{2}$

Langkah 8.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Sederhanakan $(\frac{\sin (4 x)}{4} + C) x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{\sin (4 x)}{4} x^{2} + C x^{2}$

Langkah 8.4.2.1.2

Gabungkan $\frac{\sin (4 x)}{4}$ dan $x^{2}$ .

$y = \frac{\sin (4 x) x^{2}}{4} + C x^{2}$

Langkah 8.4.2.1.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\sin (4 x) x^{2}}{4} + C x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} + C x^{2}$

Langkah 8.4.2.1.3.2

Susun kembali $\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}$ dan $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} + \frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}$