Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x e^{x - y}$

Langkah 1

Biarkan $v = e^{x - y}$ . Masukkan $v$ untuk semua kejadian $e^{x - y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x v$

Langkah 2

Tentukan $\frac{d v}{d x}$ dengan mendiferensiasikan $e^{x - y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Langkah 2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

Langkah 3

Substitusikan $v$ untuk $e^{x - y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

Langkah 4

Substitusikan kembali turunan ke persamaan diferensial.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$

Langkah 5

Kalikan setiap suku pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ dengan $- v$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ dengan $- v$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

Langkah 5.2.1.1.2

Faktorkan $v$ dari $- v$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

Langkah 5.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

Langkah 5.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 1 (- v) = x v (- v)$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $\frac{d v}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $- v$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = x v (- v)$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v \cdot v$

Langkah 5.3.2

Kalikan $v$ dengan $v$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Pindahkan $v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x (v \cdot v)$

Langkah 5.3.2.2

Kalikan $v$ dengan $v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$

Langkah 6

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, biarkan $v = y^{1 - n}$ di mana $n$ adalah eksponen dari $v^{2}$ .

$v = v^{- 1}$

Langkah 7

Selesaikan persamaan untuk $v$ .

$y = v^{- 1}$

Langkah 8

Ambil turunan dari $y$ terhadap $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Langkah 9

Ambil turunan dari $v^{- 1}$ terhadap $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ambil turunan dari $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Langkah 9.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Langkah 9.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1$ dan $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 9.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 9.4.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 9.4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.3.1

Kalikan $v$ dengan $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 9.4.3.2

Kurangi $\frac{d}{d x} [v]$ dengan $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 9.4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 9.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [v]$ sebagai $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Langkah 10

Substitusikan $- \frac{v'}{v^{2}}$ dengan $\frac{d v}{d x}$ dan $v^{- 1}$ dengan $v$ dalam persamaan asli $\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$

Langkah 11

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan setiap suku pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ dengan $- v^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ dengan $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 11.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $v^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 11.1.2.1.1.2

Faktorkan $v^{2}$ dari $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 11.1.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 11.1.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 11.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 11.1.2.1.3

Kalikan $\frac{d v}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 11.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 11.1.2.1.5

Kalikan $v^{- 1}$ dengan $v^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.1.5.1

Pindahkan $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 11.1.2.1.5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 11.1.2.1.5.3

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 11.1.2.1.6

Sederhanakan $- 1 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 11.1.2.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 11.1.2.1.8

Kalikan $v$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 11.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.3.1

Kalikan eksponen dalam ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

Langkah 11.1.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 2} (- v^{2})$

Langkah 11.1.3.2

Kalikan $v^{- 2}$ dengan $v^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.3.2.1

Pindahkan $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

Langkah 11.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{2 - 2} \cdot - 1$

Langkah 11.1.3.2.3

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{0} \cdot - 1$

Langkah 11.1.3.3

Sederhanakan $- x v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x \cdot - 1$

Langkah 11.1.3.4

Kalikan $- x \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.3.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 1 x$

Langkah 11.1.3.4.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = x$

Langkah 11.2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Buat integralnya.

$e^{\int d x}$

Langkah 11.2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{x + C}$

Langkah 11.2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{x}$

Langkah 11.3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$

Langkah 11.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = x e^{x}$

Langkah 11.4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = x e^{x}$

Langkah 11.5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int x e^{x} d x$

Langkah 11.6

Integralkan sisi kiri.

$e^{x} v = \int x e^{x} d x$

Langkah 11.7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.7.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Langkah 11.7.2

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - (e^{x} + C)$

Langkah 11.7.3

Sederhanakan.

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$

Langkah 11.8

Bagi setiap suku pada $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ dengan $e^{x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.8.1

Bagilah setiap suku di $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ dengan $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 11.8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 11.8.2.1.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 11.8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 11.8.3.1.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 11.8.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.8.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 11.8.3.1.2.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$v = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 12

Substitusikan $v^{- 1}$ untuk $v$ .

$v^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $e^{x - y}$ .

${(e^{x - y})}^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 14

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- x + y}) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Langkah 14.2

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Perluas $\ln (e^{- x + y})$ dengan memindahkan $- x + y$ ke luar logaritma.

$(- x + y) \ln (e) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Langkah 14.2.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$(- x + y) \cdot 1 = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Langkah 14.2.3

Kalikan $- x + y$ dengan $1$ .

$- x + y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Langkah 14.3

Tambahkan $x$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}}) + x$