Kalkulus Contoh

$x d y = (x^{5} + 3 y) d x$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $(x^{5} + 3 y) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x d y - (x^{5} + 3 y) d x = 0$

Langkah 1.2

Tulis kembali.

$- (x^{5} + 3 y) d x + x d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = - (x^{5} + 3 y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{5} + 3 y)]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- (x^{5} + 3 y)$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [x^{5} + 3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{5} + 3 y]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{5} + 3 y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [3 y])$

Langkah 2.4

Karena $x^{5}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{5}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [3 y])$

Langkah 2.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [3 y]$

Langkah 2.6

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 y$ terhadap $y$ adalah $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (3 \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.7

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 \cdot 1$

Langkah 2.9

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 3$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 3 = 1$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$- 3 = 1$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- 3$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 5.2

Substitusikan $1$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 3 - 1}{N}$

Langkah 5.3

Substitusikan $x$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $x$ untuk $N$ .

$\frac{- 3 - 1}{x}$

Langkah 5.3.2

Kurangi $1$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 4}{x}$

Langkah 5.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{4}{x}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Langkah 6.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 6.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 6.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Langkah 6.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Sederhanakan $- 4 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $- 4$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Langkah 6.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Langkah 6.6.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{- 4}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Langkah 6.6.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $- (x^{5} + 3 y) d x + x d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{x^{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- (x^{5} + 3 y)$ dengan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- (x^{5} + 3 y) \frac{1}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$(- x^{5} - (3 y)) \frac{1}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$(- x^{5} - 3 y) \frac{1}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.4

Kalikan $- x^{5} - 3 y$ dengan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- x^{5} - 3 y}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.5

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{5}$ .

$\frac{- (x^{5}) - 3 y}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 y$ .

$\frac{- (x^{5}) - (3 y)}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.7

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{5}) - (3 y)$ .

$\frac{- (x^{5} + 3 y)}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.8

Tulis kembali $- (x^{5} + 3 y)$ sebagai $- 1 (x^{5} + 3 y)$ .

$\frac{- 1 (x^{5} + 3 y)}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.10

Kalikan $x$ dengan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + x \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Langkah 7.11

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.11.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Langkah 7.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Langkah 7.11.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x^{3}} d y$

Langkah 9

Integralkan $N (x, y) = \frac{1}{x^{3}}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} y + C$

Langkah 9.2

Gabungkan $\frac{1}{x^{3}}$ dan $y$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} + C$

Langkah 10

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} + g (x)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}} + g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{y}{x^{3}} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{y}{x^{3}}$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{3}}$ sebagai ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{3}$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{3}$ .

$y (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$y (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12.3.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12.3.5.2

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$y (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12.3.6

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$y (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12.3.7

Kalikan $x^{- 6}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.7.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$y (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12.3.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12.3.7.3

Kurangi $6$ dengan $2$ .

$y (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- 3 x^{- 4}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.1

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12.5.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12.5.2.3

Gabungkan $y$ dan $\frac{3}{x^{4}}$ .

$- \frac{y \cdot 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12.5.2.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y$ .

$- \frac{3 y}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3 y}{x^{4}} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.1

Tambahkan $\frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3 y}{x^{4}} + \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} = 0$

Langkah 13.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 y + x^{5} + 3 y}{x^{4}} = 0$

Langkah 13.1.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $- 3 y + x^{5} + 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.3.1

Tambahkan $- 3 y$ dan $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{5} + 0}{x^{4}} = 0$

Langkah 13.1.1.3.2

Tambahkan $x^{5}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{5}}{x^{4}} = 0$

Langkah 13.1.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $x^{5}$ dan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.4.1

Faktorkan $x^{4}$ dari $x^{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{4} x}{x^{4}} = 0$

Langkah 13.1.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.4.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{4} x}{x^{4} \cdot 1} = 0$

Langkah 13.1.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{4} x}{x^{4} \cdot 1} = 0$

Langkah 13.1.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x}{1} = 0$

Langkah 13.1.1.4.2.4

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d x} + x = 0$

Langkah 13.1.2

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = - x$

Langkah 14

Temukan $- x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = - x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x d x$

Langkah 14.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (x) = - \int x d x$

Langkah 14.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 14.5

Tulis kembali $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 15

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 16

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} - \frac{x^{2}}{2} + C$