Kalkulus Contoh

$\frac{d^{2} s}{d t^{2}} = \sin (3 t) + \cos (3 t)$

Langkah 1

Integralkan kedua sisi terhadap $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Turunan pertama sama dengan integral dari turunan kedua terhadap $t$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) + \cos (3 t) d t$

Langkah 1.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) d t + \int \cos (3 t) d t$

Langkah 1.3

Biarkan $u_{1} = 3 t$ . Kemudian $d u_{1} = 3 d t$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Biarkan $u_{1} = 3 t$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Diferensialkan $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Langkah 1.3.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 1.3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 1.3.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Langkah 1.4

Gabungkan $\sin (u_{1})$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Langkah 1.5

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Langkah 1.6

Integral dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (3 t) d t$

Langkah 1.7

Biarkan $u_{2} = 3 t$ . Kemudian $d u_{2} = 3 d t$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{2} = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Biarkan $u_{2} = 3 t$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1

Diferensialkan $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Langkah 1.7.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 1.7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 1.7.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 1.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Langkah 1.8

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Langkah 1.9

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 1.10

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Langkah 1.11

Sederhanakan.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

Langkah 1.12

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $3 t$ .

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

Langkah 1.12.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $3 t$ .

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

Langkah 1.13

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

Langkah 2

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d s = (- \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}) d t$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d s = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

Langkah 3.2

Terapkan aturan konstanta.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Langkah 3.3.2

Karena $- \frac{1}{3}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- \frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Langkah 3.3.3

Biarkan $u_{3} = 3 t$ . Kemudian $d u_{3} = 3 d t$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{3} = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{3}$ dan $d$ $u_{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Biarkan $u_{3} = 3 t$ . Tentukan $\frac{d u_{3}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Diferensialkan $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Langkah 3.3.3.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 3.3.3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 3.3.3.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 3.3.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{3}$ dan $d u_{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) \frac{1}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Langkah 3.3.4

Gabungkan $\cos (u_{3})$ dan $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{3})}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Langkah 3.3.5

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{3}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Langkah 3.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Langkah 3.3.6.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Langkah 3.3.7

Integral dari $\cos (u_{3})$ terhadap $u_{3}$ adalah $\sin (u_{3})$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Langkah 3.3.8

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Langkah 3.3.9

Biarkan $u_{4} = 3 t$ . Kemudian $d u_{4} = 3 d t$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{4} = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{4}$ dan $d$ $u_{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.9.1

Biarkan $u_{4} = 3 t$ . Tentukan $\frac{d u_{4}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.9.1.1

Diferensialkan $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Langkah 3.3.9.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 3.3.9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 3.3.9.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 3.3.9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{4}$ dan $d u_{4}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) \frac{1}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

Langkah 3.3.10

Gabungkan $\sin (u_{4})$ dan $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{4})}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

Langkah 3.3.11

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{4}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) d u_{4}) + \int C_{3} d t$

Langkah 3.3.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.12.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

Langkah 3.3.12.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

Langkah 3.3.13

Integral dari $\sin (u_{4})$ terhadap $u_{4}$ adalah $- \cos (u_{4})$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + \int C_{3} d t$

Langkah 3.3.14

Terapkan aturan konstanta.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + C_{3} t + C_{7}$

Langkah 3.3.15

Sederhanakan.

$s + C_{4} = - \frac{\sin (u_{3})}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Langkah 3.3.16

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.16.1

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $3 t$ .

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Langkah 3.3.16.2

Ganti semua kemunculan $u_{4}$ dengan $3 t$ .

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (3 t)}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Langkah 3.3.17

Susun kembali suku-suku.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C_{3} t + C_{8}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $D$ .

$s = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C t + D$