Kalkulus Contoh

Solve $(x + y) d y = (x - y) d x$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $(x - y) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(x + y) d y - (x - y) d x = 0$

Langkah 1.2

Tulis kembali.

$- (x - y) d x + (x + y) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = - (x - y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x - y)]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- (x - y)$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [x - y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x - y]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

Langkah 2.4

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Langkah 2.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 2.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.7

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.7.2

Kalikan $\frac{d}{d y} [y]$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + y]$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.4

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Langkah 3.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

Langkah 4.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$1 = 1$ adalah identitas.

Langkah 5

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x - y) d x$

Langkah 6

Integralkan $M (x, y) = - (x - y)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - \int x - y d x$

Langkah 6.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = - (\int x d x + \int - y d x)$

Langkah 6.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - y d x)$

Langkah 6.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C - y x + C)$

Langkah 6.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} + C - y x + C)$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + C$

Langkah 7

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$

Langkah 8

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + y$

Langkah 9

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)] = x + y$

Langkah 9.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Penjumlahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)] = x + y$

Langkah 9.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Langkah 9.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- (\frac{x^{2}}{2} - y x)$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x]$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Langkah 9.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{2}}{2} - y x$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]$ .

$- (\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Langkah 9.3.3

Karena $\frac{x^{2}}{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{x^{2}}{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$- (0 + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Langkah 9.3.4

Karena $- x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y x$ terhadap $y$ adalah $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (0 - x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Langkah 9.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- (0 - x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Langkah 9.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- (0 - x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Langkah 9.3.7

Kurangi $x$ dengan $0$ .

$- - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Langkah 9.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Langkah 9.3.9

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Langkah 9.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x + y$

Langkah 9.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x = x + y$

Langkah 10

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = x + y - x$

Langkah 10.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $x + y - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.2.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Langkah 10.1.2.2

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Langkah 11

Temukan $y$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Langkah 11.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Langkah 11.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 12

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 13

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 13.2

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 13.3

Kalikan $- (- y x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + 1 (y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 13.3.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 13.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{y^{2}}{2} + C$