Kalkulus Contoh

$\frac{d x}{d t} = 4 - 0.2 x$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{4 - 0.2 x}$ .

$\frac{1}{4 - 0.2 x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{4 - 0.2 x} (4 - 0.2 x)$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4 - 0.2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4 - 0.2 x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{4 - 0.2 x} (4 - 0.2 x)$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4 - 0.2 x} \frac{d x}{d t} = 1$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{4 - 0.2 x} d x = 1 d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{4 - 0.2 x} d x = \int d t$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 4 - 0.2 x$ . Kemudian $d u = - 0.2 d x$ sehingga $\frac{1}{- 0.2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 4 - 0.2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 0.2}{1}$

Langkah 2.2.1.1.2

Bagilah $- 0.2$ dengan $1$ .

$- 0.2$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{- 5}{u} d u = \int d t$

Langkah 2.2.2

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int - \frac{5}{u} d u = \int d t$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{5}{u} d u = \int d t$

Langkah 2.2.4

Karena $5$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$- (5 \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Langkah 2.2.5

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$- 5 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Langkah 2.2.6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- 5 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan.

$- 5 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Langkah 2.2.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 - 0.2 x$ .

$- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) + C_{1} = \int d t$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) + C_{1} = t + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) = t + C$

Langkah 3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) = t + C$ dengan $- 5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) = t + C$ dengan $- 5$ .

$\frac{- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |)}{- 5} = \frac{t}{- 5} + \frac{C}{- 5}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |)}{- 5} = \frac{t}{- 5} + \frac{C}{- 5}$

Langkah 3.1.2.1.2

Bagilah $\ln (| 4 - 0.2 x |)$ dengan $1$ .

$\ln (| 4 - 0.2 x |) = \frac{t}{- 5} + \frac{C}{- 5}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| 4 - 0.2 x |) = - \frac{t}{5} + \frac{C}{- 5}$

Langkah 3.1.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| 4 - 0.2 x |) = - \frac{t}{5} - \frac{C}{5}$

Langkah 3.2

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 4 - 0.2 x |)} = e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\ln (| 4 - 0.2 x |) = - \frac{t}{5} - \frac{C}{5}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}} = | 4 - 0.2 x |$

Langkah 3.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 4 - 0.2 x | = e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}$ .

$| 4 - 0.2 x | = e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}$

Langkah 3.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$4 - 0.2 x = \pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}$

Langkah 3.4.3

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 0.2 x = \pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}} - 4$

Langkah 3.4.4

Bagi setiap suku pada $- 0.2 x = \pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}} - 4$ dengan $- 0.2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Bagilah setiap suku di $- 0.2 x = \pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}} - 4$ dengan $- 0.2$ .

$\frac{- 0.2 x}{- 0.2} = \frac{\pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}}{- 0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Langkah 3.4.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 0.2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 0.2 x}{- 0.2} = \frac{\pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}}{- 0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Langkah 3.4.4.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}}{- 0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Langkah 3.4.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{- 0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Langkah 3.4.4.3.1.2

Sederhanakan $\frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{- 0.2}$ .

$x = \frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Langkah 3.4.4.3.1.3

Kalikan dengan $1$ .

$x = \frac{1 (\pm e^{\frac{- t - C}{5}})}{0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Langkah 3.4.4.3.1.4

Faktorkan $0.2$ dari $0.2$ .

$x = \frac{1 (\pm e^{\frac{- t - C}{5}})}{0.2 (1)} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Langkah 3.4.4.3.1.5

Pisahkan pecahan.

$x = \frac{1}{0.2} \cdot \frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{1} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Langkah 3.4.4.3.1.6

Bagilah $1$ dengan $0.2$ .

$x = 5 \frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{1} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Langkah 3.4.4.3.1.7

Bagilah $\pm e^{\frac{- t - C}{5}}$ dengan $1$ .

$x = 5 (\pm e^{\frac{- t - C}{5}}) + \frac{- 4}{- 0.2}$

Langkah 3.4.4.3.1.8

Bagilah $- 4$ dengan $- 0.2$ .

$x = 5 (\pm e^{\frac{- t - C}{5}}) + 20$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$x = 5 (\pm e^{\frac{- t + C}{5}}) + 20$