Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{8 y}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x}{8 y})$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x}{8 y}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{8 y}$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan $y$ dari $8 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y \cdot 8}$

Langkah 1.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y \cdot 8}$

Langkah 1.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{8}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = - \frac{x}{8} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int - \frac{x}{8} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x}{8} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x}{8} d x$

Langkah 2.3.2

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{8}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{8} \int x d x)$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Tulis kembali $- \frac{1}{8} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ sebagai $- \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 8} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.2

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{16} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{16} x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{16} x^{2} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{16} x^{2} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{16} x^{2} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{16} x^{2} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (- \frac{1}{16} x^{2} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{16}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{16} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{16}) + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{2}}{16}$ ke dalam pembilangnya.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{16} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2 (8)} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2 \cdot 8} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = \frac{- x^{2}}{8} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{8} + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{8} + 2 K}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{8} + 2 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Untuk menuliskan $2 K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{8}{8}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{8} + 2 K \cdot \frac{8}{8}}$

Langkah 3.4.2

Gabungkan $2 K$ dan $\frac{8}{8}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 K \cdot 8}{8}}$

Langkah 3.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} + 2 K \cdot 8}{8}}$

Langkah 3.4.4

Kalikan $8$ dengan $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} + 16 K}{8}}$

Langkah 3.4.5

Tulis kembali $\frac{- x^{2} + 16 K}{8}$ sebagai ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{- x^{2} + 16 K}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $- x^{2} + 16 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{2} + 16 K)}{8}}$

Langkah 3.4.5.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $8$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{2} + 16 K)}{2^{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.4.5.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} (- x^{2} + 16 K)}{2^{2} \cdot 2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{- x^{2} + 16 K}{2}}$

Langkah 3.4.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{- x^{2} + 16 K}{2}}$

Langkah 3.4.7

Tulis kembali $\sqrt{\frac{- x^{2} + 16 K}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K}}{\sqrt{2}}$

Langkah 3.4.8

Gabungkan.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{- x^{2} + 16 K}}{2 \sqrt{2}}$

Langkah 3.4.9

Kalikan $\sqrt{- x^{2} + 16 K}$ dengan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K}}{2 \sqrt{2}}$

Langkah 3.4.10

Kalikan $\frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K}}{2 \sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 3.4.11

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.11.1

Kalikan $\frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K}}{2 \sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 3.4.11.2

Pindahkan $\sqrt{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Langkah 3.4.11.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Langkah 3.4.11.4

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Langkah 3.4.11.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.4.11.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 3.4.11.7

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.11.7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.4.11.7.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.4.11.7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.11.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.11.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.11.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Langkah 3.4.11.7.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{2} + 16 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.4.12

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{2} + 16 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.4.13

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.13.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{2} + 16 K) \cdot 2}}{4}$

Langkah 3.4.13.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm \frac{\sqrt{(- x^{2} + 16 K) \cdot 2}}{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 16 K)}}{4}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 16 K)}}{4}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 16 K)}}{4}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 16 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 16 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 16 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 16 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 16 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 16 K)}}{4}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + K)}}{4}$