Kalkulus Contoh

$\frac{d x}{d t} = 4 (x^{2} + 1)$ ; given $x (\frac{π}{4}) = 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} (4 (x^{2} + 1))$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4 \frac{1}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Langkah 1.2.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Langkah 1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Langkah 1.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = 4 d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int 4 d t$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Susun kembali $x^{2}$ dan $1$ .

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int 4 d t$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int 4 d t$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\arctan (x) + C_{1}$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \int 4 d t$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$\arctan (x) + C_{1} = 4 t + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\arctan (x) = 4 t + K$

Langkah 3

Ambil balikan arctangen dari kedua sisi persamaan untuk mengambil $x$ dari dalam arctangen.

$x = \tan (4 t + K)$

Langkah 4

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $\frac{π}{4}$ untuk $t$ dan $1$ untuk $x$ padda $x = \tan (4 t + K)$ .

$1 = \tan (4 \frac{π}{4} + K)$

Langkah 5

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$ .

$\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$

Langkah 5.2

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $K$ dari dalam tangen.

$4 (\frac{π}{4}) + K = \arctan (1)$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{π}{4} + K = \arctan (1)$

Langkah 5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$π + K = \arctan (1)$

Langkah 5.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Nilai eksak dari $\arctan (1)$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$π + K = \frac{π}{4}$

Langkah 5.5

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kurangkan $π$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = \frac{π}{4} - π$

Langkah 5.5.2

Untuk menuliskan $- π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 5.5.3

Gabungkan $- π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

Langkah 5.5.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$K = \frac{π - π \cdot 4}{4}$

Langkah 5.5.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.5.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$K = \frac{π - 4 π}{4}$

Langkah 5.5.5.2

Kurangi $4 π$ dengan $π$ .

$K = \frac{- 3 π}{4}$

Langkah 5.5.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$K = - \frac{3 π}{4}$

Langkah 5.6

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$π + K = π + \frac{π}{4}$

Langkah 5.7

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Sederhanakan $π + \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$π + K = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 5.7.1.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$π + K = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 5.7.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$π + K = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Langkah 5.7.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1.3.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π$ .

$π + K = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Langkah 5.7.1.3.2

Tambahkan $4 π$ dan $π$ .

$π + K = \frac{5 π}{4}$

Langkah 5.7.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1

Kurangkan $π$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = \frac{5 π}{4} - π$

Langkah 5.7.2.2

Untuk menuliskan $- π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{5 π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 5.7.2.3

Gabungkan $- π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{5 π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

Langkah 5.7.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$K = \frac{5 π - π \cdot 4}{4}$

Langkah 5.7.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.5.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$K = \frac{5 π - 4 π}{4}$

Langkah 5.7.2.5.2

Kurangi $4 π$ dengan $5 π$ .

$K = \frac{π}{4}$

Langkah 5.8

Tentukan periode dari $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 5.8.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 5.8.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 5.8.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 5.9

Tambahkan $π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1

Tambahkan $π$ ke $- \frac{3 π}{4}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{3 π}{4} + π$

Langkah 5.9.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Langkah 5.9.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.3.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Langkah 5.9.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Langkah 5.9.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.4.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{4 \cdot π - 3 π}{4}$

Langkah 5.9.4.2

Kurangi $3 π$ dengan $4 π$ .

$\frac{π}{4}$

Langkah 5.9.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$K = \frac{π}{4}$

Langkah 5.10

Periode dari fungsi $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$K = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5.11

Gabungkan jawabannya.

$K = \frac{π}{4} + π n$

Langkah 6

Substitusikan $\frac{π}{4} + π n$ untuk $K$ dalam $x = \tan (4 t + K)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Substitusikan $\frac{π}{4} + π n$ untuk $K$ .

$x = \tan (4 t + \frac{π}{4} + π n)$