Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3$ ; , $y (1) = 6$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3 d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} d x + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Langkah 2.3.2

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $7$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 2} d x + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Langkah 2.3.4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 \int x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Langkah 2.3.5

Integral dari $x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 3 d x$

Langkah 2.3.6

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3}) - 3 x + C_{4}$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

$y + C_{1} = - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) - 3 x + C_{5}$

Langkah 2.3.8

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C_{5}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $6$ untuk $y$ padda $y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ .

$6 = - 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C$

Langkah 4

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$ .

$- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

Langkah 4.2

Sederhanakan $- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$- 3 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $7$ dengan $1$ .

$- 3 - 1 \cdot 7 + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $7$ .

$- 3 - 7 + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

Langkah 4.2.1.4

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$- 3 - 7 + 4 \ln (1) + C = 6$

Langkah 4.2.1.5

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$- 3 - 7 + 4 \cdot 0 + C = 6$

Langkah 4.2.1.6

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$- 3 - 7 + 0 + C = 6$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Tambahkan $- 3 - 7$ dan $0$ .

$- 3 - 7 + C = 6$

Langkah 4.2.2.2

Kurangi $7$ dengan $- 3$ .

$- 10 + C = 6$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $10$ ke kedua sisi persamaan.

$C = 6 + 10$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $6$ dan $10$ .

$C = 16$

Langkah 5

Substitusikan $16$ untuk $C$ dalam $y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $16$ untuk $C$ .

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + 16$

Langkah 5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan $4 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $4$ ke dalam logaritma.

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + \ln ({| x |}^{4}) + 16$

Langkah 5.2.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{4}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + \ln (x^{4}) + 16$