Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 2 x \sqrt{4 - y^{2}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} (2 x \sqrt{4 - y^{2}})$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Langkah 1.2.2.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 2$ dan $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Langkah 1.2.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ dengan $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 (\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}) (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ dengan $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4.2

Naikkan $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4.3

Naikkan $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}$ sebagai $(2 + y) (2 - y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ sebagai ${((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{({((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4.6.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Langkah 1.2.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Langkah 1.2.6

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{2^{2} - y^{2}})$

Langkah 1.2.7

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 2$ dan $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{(2 + y) (2 - y)})$

Langkah 1.2.8

Kalikan $\frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{(2 + y) (2 - y)})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)})}{(2 + y) (2 - y)} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.8.2

Gabungkan $\frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)})}{(2 + y) (2 - y)}$ dan $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}) \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.8.3

Naikkan $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 ({\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}))}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.8.4

Naikkan $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 ({\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1}))}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.8.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1 + 1})}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.8.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.1

Tulis kembali ${\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}$ sebagai $(2 + y) (2 - y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ sebagai ${((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {({((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.9.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.9.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.9.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.9.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{1}}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.9.1.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 ((2 + y) (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.9.2

Perluas $(2 + y) (2 - y)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 (2 - y) + y (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.9.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 \cdot 2 + 2 (- y) + y (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.9.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 \cdot 2 + 2 (- y) + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.9.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.3.1.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 + 2 (- y) + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.9.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.9.3.1.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 \cdot y + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.9.3.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - y \cdot y)}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.9.3.1.5

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.3.1.5.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - (y \cdot y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.9.3.1.5.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.9.3.2

Tambahkan $- 2 y$ dan $2 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 + 0 - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.9.3.3

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.9.4

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2^{2} - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.9.5

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 2$ dan $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 + y) (2 - y)}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.10

Batalkan faktor persekutuan dari $2 + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 + y) (2 - y)}{(2 + y) (2 - y)}$

Langkah 1.2.10.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 - y)}{2 - y}$

Langkah 1.2.11

Batalkan faktor persekutuan dari $2 - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 - y)}{2 - y}$

Langkah 1.2.11.2

Bagilah $x \cdot 2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 2$

Langkah 1.2.12

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} d y = 2 x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} d y = \int 2 x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}} d y = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}}$ terhadap $y$ adalah $\arcsin (\frac{y}{2})$

$\arcsin (\frac{y}{2}) + C_{1} = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\arcsin (\frac{y}{2}) + C_{1}$ sebagai $\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1}$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int 2 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 \int x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) = x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ambil balikan arcsinus dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $y$ dari dalam arcsinus.

$\frac{1}{2} y = \sin (x^{2} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y$ .

$\frac{y}{2} = \sin (x^{2} + K)$

Langkah 3.3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \sin (x^{2} + K)$

Langkah 3.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y}{2} = 2 \sin (x^{2} + K)$

Langkah 3.4.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 2 \sin (x^{2} + K)$