Kalkulus Contoh

$\frac{d x}{d t} = \frac{9}{x}$ , $x (0) = 9$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x \frac{d x}{d t} = 9$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$x d x = 9 d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int x d x = \int 9 d t$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int 9 d t$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = 9 t + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = 9 t + K$

Langkah 3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (9 t + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} = 2 (9 t + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (9 t + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} = 2 (9 t) + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.2

Kalikan $9$ dengan $2$ .

$x^{2} = 18 t + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{18 t + 2 K}$

Langkah 3.4

Faktorkan $2$ dari $18 t + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $2$ dari $18 t$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $2$ dari $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

Langkah 3.4.3

Faktorkan $2$ dari $2 (9 t) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t + K)}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

Langkah 4

Karena $x$ positif pada sarat awal $(0, 9)$ , hanya pertimbangkan $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ untuk menentukan $K$ . Substitusikan $0$ untuk $t$ dan $9$ untuk $x$ .

$9 = \sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$

Langkah 5

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$ .

$\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$

Langkah 5.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}}^{2} = 9^{2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$ sebagai ${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan ${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Langkah 5.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Langkah 5.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{1} = 9^{2}$

Langkah 5.3.2.1.2

Kalikan $9$ dengan $0$ .

${(2 (0 + K))}^{1} = 9^{2}$

Langkah 5.3.2.1.3

Tambahkan $0$ dan $K$ .

${(2 K)}^{1} = 9^{2}$

Langkah 5.3.2.1.4

Sederhanakan.

$2 K = 9^{2}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$2 K = 81$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $2 K = 81$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $2 K = 81$ dengan $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

Langkah 5.4.2.1.2

Bagilah $K$ dengan $1$ .

$K = \frac{81}{2}$

Langkah 6

Substitusikan $\frac{81}{2}$ untuk $K$ dalam $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Substitusikan $\frac{81}{2}$ untuk $K$ .

$x = \sqrt{2 (9 t + \frac{81}{2})}$

Langkah 6.2

Faktorkan $9$ dari $9 t + \frac{81}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $9$ dari $9 t$ .

$x = \sqrt{2 (9 (t) + \frac{81}{2})}$

Langkah 6.2.2

Faktorkan $9$ dari $\frac{81}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (9 t + 9 (\frac{9}{2}))}$

Langkah 6.2.3

Faktorkan $9$ dari $9 t + 9 (\frac{9}{2})$ .

$x = \sqrt{2 (9 (t + \frac{9}{2}))}$

$x = \sqrt{2 \cdot 9 (t + \frac{9}{2})}$

Langkah 6.3

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$x = \sqrt{18 (t + \frac{9}{2})}$

Langkah 6.4

Untuk menuliskan $t$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{18 (t \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2})}$

Langkah 6.5

Gabungkan $t$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{18 (\frac{t \cdot 2}{2} + \frac{9}{2})}$

Langkah 6.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \sqrt{18 \frac{t \cdot 2 + 9}{2}}$

Langkah 6.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $t$ .

$x = \sqrt{18 \frac{2 t + 9}{2}}$

Langkah 6.8

Gabungkan $18$ dan $\frac{2 t + 9}{2}$ .

$x = \sqrt{\frac{18 (2 t + 9)}{2}}$

Langkah 6.9

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.1

Kurangi pernyataan $\frac{18 (2 t + 9)}{2}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.1.1

Faktorkan $2$ dari $18 (2 t + 9)$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2}}$

Langkah 6.9.1.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 (1)}}$

Langkah 6.9.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 \cdot 1}}$

Langkah 6.9.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \sqrt{\frac{9 (2 t + 9)}{1}}$

Langkah 6.9.2

Bagilah $9 (2 t + 9)$ dengan $1$ .

$x = \sqrt{9 (2 t + 9)}$

Langkah 6.10

Tulis kembali $9 (2 t + 9)$ sebagai $3^{2} (2 t + 3^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.10.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 9)}$

Langkah 6.10.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 3^{2})}$

Langkah 6.11

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = 3 \sqrt{2 t + 3^{2}}$

Langkah 6.12

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$x = 3 \sqrt{2 t + 9}$