Kalkulus Contoh

$(3 x^{2} + 6 x y^{2}) d x + (6 x^{2} y + 4 y^{2}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 3 x^{2} + 6 x y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 6 x y^{2}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} + 6 x y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$

Langkah 1.2.2

Karena $3 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $6 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $6 x y^{2}$ terhadap $y$ adalah $6 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x (2 y)$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 12 x y$

Langkah 1.4

Tambahkan $0$ dan $12 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} y + 4 y^{2}]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x^{2} y + 4 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $6 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $6 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Langkah 2.4

Karena $4 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x + 0$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tambahkan $12 y x$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x$

Langkah 2.5.2

Susun kembali faktor-faktor dari $12 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $12 x y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $12 x y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$12 x y = 12 x y$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$12 x y = 12 x y$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} + 6 x y^{2} d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = 3 x^{2} + 6 x y^{2}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} d x + \int 6 x y^{2} d x$

Langkah 5.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 3 \int x^{2} d x + \int 6 x y^{2} d x$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 6 x y^{2} d x$

Langkah 5.4

Karena $6 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6 y^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 y^{2} \int x d x$

Langkah 5.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 5.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 5.7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 5.7.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = 1 x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 5.7.3

Kalikan $x^{3}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 5.7.4

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + y^{2} \frac{6}{2} x^{2} + C$

Langkah 5.7.5

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{6}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{y^{2} \cdot 6}{2} x^{2} + C$

Langkah 5.7.6

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{6 \cdot y^{2}}{2} x^{2} + C$

Langkah 5.7.7

Kalikan $6$ dengan $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{6 y^{2}}{2} x^{2} + C$

Langkah 5.7.8

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.8.1

Faktorkan $2$ dari $6 y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2} x^{2} + C$

Langkah 5.7.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.8.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2 (1)} x^{2} + C$

Langkah 5.7.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Langkah 5.7.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 y^{2}}{1} x^{2} + C$

Langkah 5.7.8.2.4

Bagilah $3 y^{2}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$

Langkah 8.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$

Langkah 8.2.2

Karena $x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{3}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $3 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 y^{2} x^{2}$ terhadap $y$ adalah $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 3 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$

Langkah 8.3.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$0 + 6 x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 6 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Tambahkan $0$ dan $6 x^{2} y$ .

$6 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$

Langkah 8.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + 6 x^{2} y = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $6 x^{2} y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{2} - 6 x^{2} y$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $6 x^{2} y + 4 y^{2} - 6 x^{2} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangi $6 x^{2} y$ dengan $6 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{2} + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $4 y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{2}$

Langkah 10

Temukan $4 y^{2}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 4 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{2} d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y^{2} d y$

Langkah 10.3

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$g (y) = 4 \int y^{2} d y$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Langkah 10.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Tulis kembali $4 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ sebagai $4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Langkah 10.5.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{4}{3} y^{3} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{4}{3} y^{3} + C$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{4 y^{3}}{3} + C$