Kalkulus Contoh

$3 x d y - 4 y d x = 0$

Langkah 1

Tambahkan $4 y d x$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x d y = 4 y d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Langkah 3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{3}{y} d y = 4 \frac{1}{x y} y d x$

Langkah 3.5

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{x y} y d x$

Langkah 3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{y x} y d x$

Langkah 3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{y x} y d x$

Langkah 3.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{3}{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Langkah 4.2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{4}{x} d x$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$3 \ln (| y |) = 4 \ln (| x |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$3 \ln (| y |) - 4 \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan $3 \ln (| y |) - 4 \ln (| x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Sederhanakan $3 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\ln ({| y |}^{3}) - 4 \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2.1.1.2

Sederhanakan $- 4 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $4$ ke dalam logaritma.

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln ({| x |}^{4}) = C$

Langkah 5.2.1.1.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{4}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln (x^{4}) = C$

Langkah 5.2.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}) = C$

Langkah 5.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}})} = e^{C}$

Langkah 5.4

Tulis kembali $\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}$

Langkah 5.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} = e^{C}$ .

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} = e^{C}$

Langkah 5.5.2

Kalikan kedua ruas dengan $x^{4}$ .

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} x^{4} = e^{C} x^{4}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} x^{4} = e^{C} x^{4}$

Langkah 5.5.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

${| y |}^{3} = e^{C} x^{4}$

Langkah 5.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{C} x^{4}$ .

${| y |}^{3} = x^{4} e^{C}$

Langkah 5.5.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$| y | = \sqrt[3]{x^{4} e^{C}}$

Langkah 5.5.4.2

Sederhanakan $\sqrt[3]{x^{4} e^{C}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.2.1

Tulis kembali $x^{4} e^{C}$ sebagai $x^{3} (x e^{C})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.2.1.1

Faktorkan $x^{3}$ .

$| y | = \sqrt[3]{x^{3} x e^{C}}$

Langkah 5.5.4.2.1.2

Tambahkan tanda kurung.

$| y | = \sqrt[3]{x^{3} (x e^{C})}$

Langkah 5.5.4.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| y | = x \sqrt[3]{x e^{C}}$

Langkah 5.5.4.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm x \sqrt[3]{x e^{C}}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm x \sqrt[3]{x C}$