Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t^{2}}{9 y}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{9 y}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y$ dari $9 y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{y \cdot 9}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{y \cdot 9}$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d t} = \frac{8 t^{2}}{9}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = \frac{8 t^{2}}{9} d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int \frac{8 t^{2}}{9} d t$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{8 t^{2}}{9} d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{8}{9}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{8}{9}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} \int t^{2} d t$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t^{2}$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $\frac{8}{9} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ sebagai $\frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Kalikan $\frac{8}{9}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9 \cdot 3} t^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2

Kalikan $9$ dengan $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{27} t^{3} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{8}{27} t^{3} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{8}{27}$ dan $t^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Kalikan $2 \frac{8 t^{3}}{27}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{8 t^{3}}{27}$ .

$y^{2} = \frac{2 (8 t^{3})}{27} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Kalikan $8$ dengan $2$ .

$y^{2} = \frac{16 t^{3}}{27} + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $2$ dari $\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Faktorkan $2$ dari $\frac{16 t^{3}}{27}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K}$

Langkah 3.4.1.2

Faktorkan $2$ dari $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K}$

Langkah 3.4.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K)}$

Langkah 3.4.2

Untuk menuliskan $K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{27}{27}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K \cdot \frac{27}{27})}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Gabungkan $K$ dan $\frac{27}{27}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + \frac{K \cdot 27}{27})}$

Langkah 3.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3} + K \cdot 27}{27}}$

Langkah 3.4.4

Pindahkan $27$ ke sebelah kiri $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3} + 27 K}{27}}$

Langkah 3.4.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{8 t^{3} + 27 K}{27}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{27}}$

Langkah 3.4.6

Tulis kembali $\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{27}$ sebagai ${(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $2 (8 t^{3} + 27 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{27}}$

Langkah 3.4.6.2

Faktorkan kuadrat sempurna $3^{2}$ dari $27$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{3^{2} \cdot 3}}$

Langkah 3.4.6.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{3^{2} \cdot 3}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$

Langkah 3.4.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$

Langkah 3.4.8

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{\sqrt{3}}$

Langkah 3.4.9

Gabungkan.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$

Langkah 3.4.10

Kalikan $\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}$ dengan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$

Langkah 3.4.11

Kalikan $\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 3.4.12

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.12.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 3.4.12.2

Pindahkan $\sqrt{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Langkah 3.4.12.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Langkah 3.4.12.4

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Langkah 3.4.12.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.4.12.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 3.4.12.7

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.12.7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.4.12.7.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.4.12.7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.12.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.12.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.12.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

Langkah 3.4.12.7.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Langkah 3.4.13

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.13.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K) \cdot 3}}{3 \cdot 3}$

Langkah 3.4.13.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \cdot 3}$

Langkah 3.4.14

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + K)}}{9}$